Question

Ayuda no se hacer esto :(

1. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces la masa da la luna y la aceleración en la superficie terrestre es 6 veces superior a la aceleración de la gravedad en la superficie lunar, calcula:
a) La velocidad de un satélite que se mueve en una órbita circular estable en torno a la luna a una altura de 3200 km de su superficie.
b) El peso del satélite en esa órbita si su masa es de 10000 kg
c) La velocidad con la que llegaría a la superficie lunar si, por cualquier motivo, el satélite perdiese la energía cinética.

Answer 1

Respuesta:

1.-Solución

Datos

Aceleración en la superficie de la Tierra: g = aT = 9.8 m/s2

Aceleración en la superficie de la Luna: aL ?

Relación entre radio de la Tierra y el de la Luna: RL = 0.27·RT

Relación entre la masa de la Tierra y la de la Luna: MT = 81.23·ML => ML = 0.0123·MT

Resolución

Podemos relacionar la expresión de la fuerza de la gravedad experimentada por un cuerpo cualquiera de masa m en la superficie de la Tierra con la aceleración que adquiere, a través del principio fundamental, quedando:

FgT=G⋅MT⋅mRT2=m⋅aT

Para el caso de la Luna podemos escribir, de manera similar y sustituyendo con las relaciones que tenemos entre la Luna y la Tierra:

FgL=G⋅ML⋅mRL2=m⋅aL⇒aL=G⋅0.0123⋅MT(0.27⋅RT)2=0.168⋅G⋅MTRT2aT=9.8=1.65 m/s2

A-Suponemos que a esa altura la resistencia del aire es despreciable.

Hay aceleración centrípeta.

ac = V² / R; V = √(R ac)

R es la distancia desde el centro de la tierra hasta el satélite

Si el satélite está en órbita es porque la aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad a esa altura.

A nivel de la tierra: go = G M / R²;

A una altura h: g = G M / (R + h)²

Luego g = go . R² / (R + h)²

g = 9,80 . 6370² / (6370 + 3600)² = 4 m/s²

V = √(9970000 m . 4 m/s²) = 6315 m/s = 6,315 km/s = 22734 km/h

Saludos

B.-Si está en órbita es porque el peso del satélite a esta altura es igual a la fuerza de atracción gravitatoria, igual además a la fuerza centrípeta.

Fc = P = G M m / R²

G = cte de gravitación universal, M = masa de la Tierra, m = masa del satélite, R = 10000 + 6370 = 16370 km desde el centro de la Tierra.

Fc = m V² / R = G M m / R²

La masa del satélite no es necesaria.

V = √(G M / R)

Si se utilizan las unidades del SI. pueden ser omitidas en la solución

V = √(6.67 . 10⁻¹¹ . 5,98 . 10²⁴ / 1,637 . 10⁶) ≅ 4936  m/s = 17770 km/h

Saludos

C.-La velocidad lineal es 1633.17 m/seg y el periodo es 7071.21 seg .

La velocidad lineal y el periodo se calculan con la igualación de la fuerza igual a masa por aceleración y la fuerza de gravitación universal y al radio de la luna se le suma la altura a la que gira el satélite, que es el radio de la órbita , de la siguiente manera:

m = 500 Kg

h = 100 Km

  V=?

  T =?

 mL = 7.35*1022 Kg

  RL = 1738 Km

   

  Radio de la órbita:

  R = h + RL = 100 Km + 1738 Km = 1838 Km * 1000 m/1 Km = 1.838*106 m

  La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza de gravedad que ejerce la luna:

        ∑F =Fg

      m*a = Fg

      m *V²/R  = G *m *ML/R²

       V = √(G*ML/R)

       V = √( 6.67*10-11 N*m/Kg2* 7.35*1022 Kg/1.838*106 m )

      V = 1633.17 m/seg

 Como ,  V = 2*π*R/T   se despeja el periodo T:

           T = 2*π*R/V

           T = 2*π* 1.838*106 m /1633.17 m/seg

           T = 7071.21 seg .

Explicación: