Question

AYUDA, EJERCICIO DE VARIABLES SEPARABLES.

Answer 1

Bueno tu ejercicio es el siguiente:

$(x+1)dy- x^{2} sec ^{2} (y)dx=0$

Entonces debemos separar todo lo que tenga "x" a un lado...y todo lo que tenga "y" al otro lado...

$(x+1)dy- x^{2} sec ^{2} (y)dx=0 \\ (x+1)dy= x^{2} sec ^{2} (y)dx \\ \frac{dy}{sec ^{2}(y) } = x^{2} \frac{dx}{(x+1)} \\ \frac{dy}{ \frac{1}{cos ^{2}(y) } } = \frac{ x^{2} }{x+1} dx \\ \\ cos ^{2} (y)dy= \frac{ x^{2} }{x+1} dx$

Ahh¡¡...es el mismo ejercicio de arriba..jajaja...¬¬¡¡...

Ahora debemos integrar a cada lado

$\int\limits{cos ^{2} (y)dy} \, = \int\limits{\frac{ x^{2} }{x+1}} \, dx$

Ahora cuando tenemos una función trigonométrica elevada a una potencia PAR...debemos recurrir a una identidad trigonométrica que nos es necesario que te la aprendas,,,basta que sepas llegar a ella...te voy a demostrar 

Tenemos la siguiente identidad (nunca la olvides)

$sin ^{2} (x)+cos ^{2}(x) =1$

Y también ésta

$cos(2x): \\ cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos ^{2} (x)-sin ^{2}(x)$

Necesitamos que es´te en función de lo que necesitamos en este caso..necesitamos que esté en función de cosenos...despejamos de la primera identidad el seno cuadrado y reemplazamos en ésta última

$cos(2x)=cos ^{2} (x)-sin ^{2} (x) \\ cos(2x)=cos ^{2} (x)-(1-cos ^{2}(x) ) \\ cos(2x)=2cos ^{2} (x)-1$

Y de aquí despejamos el coseno

$cos(2x)+1=2cos ^{2} (x) \\ cos^{2} (x)= \frac{cos(2x)+1}{2}$

Hay que tener cuidado de NUNCA trabajar con raíces porque?..porque nos va a quedar un valor absoluto y no sabemos si eso es positivo o negativo...CUIDADO¡..

y con ésta identidad, vamos a reemplazar para resolver la primera integral

$\int\limits{\frac{cos(2x)+1}{2}} \, dx = \int\limits { \frac{1}{2}(cos(2x)+1) } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits{(cos(2x)+1}) \, dx = ... \\ \\ ...=\frac{1}{2} ( \frac{sin(2x)}{2}+x )$

No es necesario aumentar la constante de integración en éste momento...

$\int\limits { \frac{ x^{2} }{(x+1)} } \, dx$

Pues un camino fácil sería por sustitución, si quieres complicarte puedes usar integración por partes..

Consideremos

$u=x+1$

Derivemos

$du=dx$

Pero si te das cuenta, hicimos un cambio de varible para x+1...pero nos va a quedar un numerador de "x" al cuadrado...y todo dentro de la integral debe estar en función de la nueva variable entonces...de
u=x+1
depejemos la "x"
x=u-1

Y ahora si reemplacemos éstos valores

$\int\limits { \frac{ x^{2} }{(x+1)} } \, dx=\int\limits { \frac{ (u-1) ^{2} }{u} } \, du= \int\limits { \frac{ u^{2}-2u+1 }{u} } \, du = \int\limits { (\frac{ u^{2} }{u} }- \frac{2u}{u} + \frac{1}{u} ) \, dx =... \\ \\ ...= \int\limits {(u-2+ \frac{1}{u} )} \, du = \frac{u^{2}}{2} -2u+ln(|u|) \\ \\ Pero: u=x+1 \\ \\ \frac{1}{2} (x+1) ^{2} -2(x+1)+ln(|x+1|)$

Ahora uniendo todo

$\frac{1}{2} ( \frac{sin(2x)}{2}+x )=\frac{1}{2} (x+1) ^{2} -2(x+1)+ln(|x+1|)+C$

Y ahora si hemos aumentado la constante de integración

Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas

Nota: revisa paso por paso..es tedioso lo sé...pero si quieres aprender...me tomé el agrado de explicartelo paso paso..Además, fíjate que al comienzo no aplicamos una fórmula extraña...demostramos la fórmula que necesitábamos...es como recomendación, es mejor saber demostrar el de donde vienen las cosas a que te aprendas cientos de fórmulas