Question

Asíntota oblicua de x²-4x+5/x-3

Answer 1

Explicación paso a paso: Recordemos que las asíntotas oblicuas son de la forma $y=mx+n$, donde $m$ es la pendiente y $n$ la ordenada en el origen

Vamos a hallar la pendiente de la asíntota usando la fórmula de la propia pendiente

$m= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{2} -4x+5}{x(x-3)}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{2} -4x+5}{x^{2} -3x}= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{2} }{x^{2} }=\boxed{1}$

Ahora para hallar $n$, podemos reescribir la ecuación de la recta y despejar $n$

$y=mx+n\longrightarrow y-mx=n\longrightarrow n= \lim\limits_{x \to \infty}( f(x)-mx)$

Resolvemos el límite sustituyendo los valores de $f(x)$ y $m$

$n= \lim\limits_{x \to \infty}( f(x)-mx)=\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^{2} -4x+5}{x-3} -x)=\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^{2}-4x+5-x(x-3) }{x-3} )\\=\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^{2}-4x+5-x^{2} +3x }{x-3} )=\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{-x+5 }{x-3} )= \lim\limits_{x \to \infty}( \frac{-x}{x} )=\boxed{-1}$

La recta es

$y=x-1$