Question

ARITMETICA -MULTIPLOS ​

Answer 1

¡Buenas!

Temas: Divisibilidad

$\textbf{Problema :}$

Si $\overline{abc}$ es el mayor numeral que es igual a 27 veces la suma de sus cifras, calcule el residuo al dividir $\overline{abc}^{\overline{ab \boldsymbol{(}c+2 \boldsymbol{)}}}$ entre 7.

RESOLUCIÓN

Sabemos que $\overline{abc} = 27 \boldsymbol{(} a+b+c \boldsymbol{)}$  entonces $\overline{abc}$ es un múltiplo de 9, lo cual implica que la suma de sus cifras sea también un múltiplo de 9 de esta manera.

                                               $a+b+c= 9k$

Donde $k$ es cualquier entero no negativo.

Luego

                                           $\overline{abc} = 27 \cdot 9k = 243k$

Entonces $\overline{abc} \in \{ 243\ ;\ 486\ ;\ 729\ ;\ 972 \}$

De inmediato nos percatamos que el mayor numeral que cumple con la condición del problema es $\overline{abc} = 486$

Ahora nos piden hallar el residuo que deja dividir $486^{488}$ por 7.

        $486^{488} = \boldsymbol{(} \hat{7} + 3\boldsymbol{)}^{488} = \hat{7} + 3^{488} = \hat{7} + 3^{2} \cdot 3^{486} = \hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} 3^{3} \boldsymbol{)}^{162}$

    $\hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} 3^{3} \boldsymbol{)}^{162} = \hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} 27 \boldsymbol{)}^{162} = \hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} \hat{7} - 1 \boldsymbol{)}^{162} = \hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} \hat{7} + 1 \boldsymbol{)}$

                                   $\hat{7} + 9 \cdot \boldsymbol{(} \hat{7} + 1 \boldsymbol{)} = \hat{7} + 9 = \hat{7} + 2$

Finalmente se concluye que $486^{488} = \hat{7} + 2$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El residuo es 2}}$