Question

Alguien me ayuda ? , abstenerse personas inescrupulosas que solo quieren puntos porque los reportare.

Answer 1

hola, veamos

Teorema Fundamental del Calculo

enuncia lo siguiente :

$\frac{d}{dx} \int\limits^x_a {f(t)} \, dt =f(x)$

ahora

para resolver el problema es indispensable el teorema fundamental del calculo , análogamente

$(g(x))^{2} =\int\limits^x_\frac{\pi }{9} {g(t)sen(t)} \ dt$

primeramente se tiene que derivar la expresión (es una forma de resolver)

$para \: \: ello\: \: recordar:(f^{n} )'=n.f^{n-1}.f'$

derivando en ambos lados

$\frac{d}{dx} g^{2} (x)=\frac{d}{dx} \int\limits^{x} _{\frac{\pi}{9}}g(t)sen(t).dt$

como el el lado derecho esa expresión tiene la forma de el Teorema fundamental entonces solo queda remplazar

note que π/9 es una constante al igual que "a" en el teorema

ahora solo es cuestión de remplazar

operando

$2g(x).g'(x)=g(x).senx$

se elimina :g(x)

$g'(x)= \cfrac{senx}{2}$

ahora

como g'(x) es una notación de derivada , otra forma es ponerlo en forma de cociente es decir : $\frac{d}{dx} g(x)$

¿para que hacemos ello?

lo hacemos para luego integrar

luego nos queda :

$dg(x)= \cfrac{senx}{2} .dx$

integramos en ambos miembros

$\int dg(x)= \int \cfrac{senx}{2} .dx$

recodar : si tenemos una integral y un diferencial "se eliminan"

$g(x)=\cfrac{1}{2} \int senx.dx$

$recordar: \int senx.dx =-cosx$

luego :

$g(x)=\cfrac{-cosx}{2}$

pero como es una integral indefinida entonces se le coloca la respectiva constante "C"

luego :

$g(x)=\cfrac{-cosx}{2}+C$

ahora utilizando el dato de que la gráfica pasa por el punto (0,3)

es decir cuando x=0, g(x) =3

remplazando

$3=\cfrac{-cos0}{2} +C\\ \\ 3=\cfrac{-1}{2} +C\\ \\ C=\cfrac{1}{2} +3\\ \\ C=\cfrac{6+1}{2}\\ \\ C=\cfrac{7}{2}$

remplazando en la ecuación original

por lo que nos quedaría

$g(x)=\cfrac{-cosx}{2}+\cfrac{7}{2}$

Saludos.