Question

A un teatro asistieron 500 personas. Si los boletos de adulto costaban 300 pesos y de adultos mayores 200 pesos y se recaudaron 134 100 pesos. ¿Cuántos adultos y cuantos adultos mayores asistieron al teatro?.

Answer 1

Asistieron al teatro 341 adultos y 159 adultos mayores

 

Solución

Llamamos variable "x" al número de adultos y variable "y" a la cantidad de adultos mayores asistentes al teatro

Donde sabemos que

El total de personas que asistieron al teatro fue de 500

Donde el monto total recaudado por la venta de los boletos al teatro fue de $ 134100

Pagando los adultos por el boleto al teatro $ 300

Pagando los adultos mayores por el boleto al teatro $ 200

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de adultos asistentes al teatro y la cantidad de adultos mayores que concurrieron al teatro para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de personas presentes en la función de teatro  

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y =500 }}$                         $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como por los boletos los adultos pagaron $ 300 y los boletos para adultos mayores se vendieron a $ 200 planteamos la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero recaudado por la venta de boletos para la función de teatro

$\large\boxed {\bold{ 300x \ + \ 200y = 134100 }}$   $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {y =500 -x }}$                         $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =500 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold{ 300x \ + \ 200y = 134100 }}$

$\boxed {\bold { 300x\ + \ 200\ (500 -x) = 134100 }}$

$\boxed {\bold { 300x\ + \ 100000\ -200x = 134100 }}$

$\boxed {\bold { 100x\ + \ 100000 = 134100 }}$

$\boxed {\bold { 100x = 134100\ - 100000 }}$

$\boxed {\bold { 100x = 34100 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{34100}{100} }}$

$\large\boxed {\bold { x =341 }}$

Por lo tanto el número de adultos que concurrieron al teatro fue de 341

Hallamos la cantidad de adultos mayores que asistieron al teatro

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =500 -x }}$

$\boxed {\bold {y =500-341 }}$

$\large\boxed {\bold {y =159 }}$

Luego la cantidad de adultos mayores que asistieron al teatro fue de 159

 

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 500\ personas}}$

$\boxed {\bold { 341\ +\ 159= 500 \ personas }}$

$\boxed {\bold {500 \ personas=500 \ personas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {300x \ + \ 200y = 134100 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 300 \ . \ 341\ \ +\ \ \ 200 \ . \ 159\ = \ \ 134100 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 102300 \ + \ \ \ 31800 = \ \ 134100}}$

$\boxed {\bold {\ \ 134100= \ \ 134100 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$