Question

A un tanque de forma de cono invertido ingresa agua a una razón de 7 m3/min. Si la altura del tanque es de 33 metros y el radio de su abertura circular es de 14 metros. ¿Calcula la velocidad con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 metros?​

Answer 1

¿Cuál es la rapidez con que sube el nivel del agua?

Sabiendo que el tanque tiene forma de cono invertido (con su cúspide hacia abajo), se puede hallar la rapidez con que cambia el nivel del agua de esta forma:

$\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dV}.\frac{dV}{dt}$

Donde el primer factor corresponde al cambio en la altura respecto del cambio de volumen del agua contenida en el tanque, el segundo factor es la rapidez con que cambia el volumen, lo cual nos dan como dato. El volumen del agua en función del radio a la altura de la superficie de la misma 'x' y la altura 'z' es:

$V=\frac{1}{3}\pi.x^2z$

Sin embargo, 'x' es una variable que depende de 'z'. Analizando el perfil del tanque se puede deducir la relación $x=\frac{14}{33}z$. El volumen queda:

$V=\frac{1}{3}\pi\frac{196}{1089}z^3$

Poniendo z en función de V queda:

$z=\sqrt[3]{\frac{3267}{196\pi}.V}$

Entonces, la rapidez con que sube el nivel del agua cuando la altura es de 5 metros queda:

$\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dV}.\frac{dV}{dt}=\sqrt[3]{\frac{3267}{196\pi}}\frac{1}{z^{\frac{2}{3}}}.7\frac{m^3}{m}=\sqrt[3]{\frac{3267}{196\pi}}\frac{1}{(5m)^{\frac{2}{3}}}.7\frac{m^3}{m}\\\\\frac{dz}{dt}=4,18m$

Aprende más sobre derivadas en https://brainly.lat/tarea/27896694

#SPJ1