Question

8. Halla el valor de los ángulos A, B y C

Answer 1

Los valores de los ángulos internos del triángulo son de:

A = 36.34°, B = 117.28° y C = 26.38°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a =4 \ cm }$

$\bold{b = 6 \ cm }$

$\bold{c =3 \ cm }$

Donde se pide hallar los valores de los ángulos del triángulo

Para resolver este ejercicio y determinar los ángulos desconocidos del triángulo vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(6 \ cm)^{2} + (3 \ cm) ^{2} - (4 \ cm)^{2} }{2 \ . \ 6 \ cm \ . \ 3 \ cm } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{36\ cm^{2} + 9 \ cm^{2} - 16\ cm^{2} }{36 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{45 \ cm^{2} - 16 \ cm^{2} }{36 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{29 \not cm^{2} }{36 \not cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 29}{36 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.80\overline{555} }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.80\overline{555} ) }}$

$\boxed {\bold {A =36.336^o }}$

$\large\boxed {\bold {A =36.34^o }}$

El valor del ángulo A es de 36.34°

Hallamos el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(4 \ cm )^{2} + (3 \ cm )^{2} - (6 \ cm )^{2} }{2 \ . \ 4 \ cm \ . \ 3 \ cm } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{16\ cm^{2} + 9\ cm^{2} - 36 \ cm^{2} }{24 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{25\ cm^{2} - 36 \ cm^{2} }{24 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{-11 \not cm^{2} }{24 \not cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )=- \frac{ 11 }{24 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )=-0.458\overline{333} }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {B=arccos( -0.458\overline{333} ) }}$

$\boxed {\bold {B = 117.279^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 117.28^o }}$

El valor del ángulo A es de 117.28°

Hallamos el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 36.34^o +117.28 ^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 36.34^o -117.28 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 26.38^o }}$

El valor del ángulo C es de 26.38°

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas