Question

6^n - 1 Es divisible entre 5

Answer 1

$\text{Demostrar }6^n-1=5p \ \ , \ \ p \text{ es un entero.} \\ \textbf{1) } \ n=1 \ \Rightarrow \ 6^1-1=5 \text{ es divisible por 5 ya que }5=(5)(1)\\[2pt] \textbf{2) } \ \text{Hip\'otesis inductiva :} \ 6^k-1=5p \\[2pt] \textbf{3) } \ \text{Se quiere probar que es cierto para }n=k+1 \\[2pt] 6^{k+1}-1=5p_1 \ \leftarrow \ \text{Tesis.}\\[2pt]$

$\text{Veamos :} \\[2pt] 6^{k+1}-1=6\cdot6^k-1 \\ \hspace*{1.3cm}=(5+1)6^k-1 \\ \hspace*{1.3cm}=5\cdot 6^k+6^k-1 \\ \hspace*{1.3cm}=5\cdot 6^k+5p \ \ , \ \text{ya que por hip\'otesis } \ 6^k-1=5p \\ \hspace*{1.3cm}=5(6^k+p)\\ \hspace*{1.3cm}=5p_1 \ \ , \ \ (6^k+p \text{ es un entero)} \\[2pt] \text{Entonces } \ 6^{k+1}-1 \ \text{ es divisible por 5.}$

$\text{Por lo tanto }\ 6^n-1 \ \text{es divisible por 5 , para todo }n \text{ natural}$