6. En una P.G. se conoce que: S6 = 28(S3)
Hallar “q”.
7. En una P.G. el primer término es 7, el
último es 448 y la suma 889. Hallar la razón
y el número de términos.
Respuestas a la pregunta
Respuesta 6:
En el ejercicio seis la razón sería la raíz cúbica de 28 la cual es un poco mayor que tres. ¿Por qué es cúbica? Porque hay tres elementos de distancia entre un término y otro.
Respuesta 7: r= 2 y N=7
Explicación paso a paso:
En una razón de valor 3 la progresión se comportaría de la siguiente manera:
s4= 3s3
s5= 9s3
s6= 27s3
En cuanto al ejercicio siguiente s1= 7 y sN= 448 desconocemos a N
Y tambien se conoce que s1 + s2 + ... + sN= 889
Para mayor visión observamos que sN= 64s1
y desglosando el 64 en factores primos queda como potencia 2 elevado a la 6. Por lo que le siguen seis elementos al inicial lo cual sumarían siete elementos y además el número desglosado representaría la razón que es igual a 2.
Teniendo en cuenta esta ecuación sN= s1 * r´N - 1 / r - 1
Sustituyendo queda 889= 7 * r´N - 1 / r - 1
889= 7 * 2´7 - 1 / 2 - 1
889= 7 * 128-1 / 1
889= 7 * 127 El cual coincide en resultado.
Otro método sería despejar la razón tras conocerse los elementos presentes en primera ocasión.
La primera progresión tiene razón q = r = 3 y la segunda progresión tiene razón 2 y 7 términos
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.
El termino nesimo de una progresión geométrica es:
an = a1*rⁿ⁻¹
y la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es:
Sn = (an*r-a1)/(r-1) o también Sn = a1*(rⁿ - 1)/(r - 1)
1. Tenemos que S6 = 28*S3, y q = r, entonces tenemos que:
a1*(r⁶ - 1)/(r - 1) = 28*a1*(r³ - 1)/(r - 1)
(r⁶ - 1) = 28(r³ - 1)
r⁶ - 1 = 28r³ - 28
r ⁶ - 28r³ - 1 + 28 = 0
r ⁶ - 28r³ + 27 = 0
Si hacemos λ = r³, tenemos que:
λ² - 28λ + 27 = 0
(λ - 1)(λ - 27) = 0
λ = 1 o λ = 27, ahora para que la progresión geométrica no sea constante y no se divida entre 0, tenemos que λ = 27
r³ = 27
r = ∛27
r = 3 = q
2. EL primer término es a1 = 7, el ultimo an = 448 y la suma Sn = 889, entonces tenemos que:
889 = (448*r-7)/(r-1)
889*(r - 1) = 448r - 7
889r - 889 = 448r - 7
889r - 448r = -7 + 889
441r = 882
r = 882/441
r = 2
Ahora el número de términos:
an = 448 = 7*2ⁿ⁻¹
448/7 = 2ⁿ⁻¹
64 = 2ⁿ⁻¹
2⁶ = 2ⁿ⁻¹
n - 1 = 6
n = 6 + 1
n = 7
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