Matemáticas, pregunta formulada por kristelsv8315, hace 1 año

56. La longitud en centímetros de una barra de hierro está dada por la fórmula P(x)=5x²+mx+n. Cuando la barra se corta en trozos de (x+1) cm de longitud, sobran 10 cm. Pero si se corta en trozos de x cm de longitud, sobran 20 cm. Si la longitud de la barra inicial es de 560 cm, ¿cuántos trozos de longitud ( x+2 ) cm podrán obtenerse como máximo?

Respuestas a la pregunta

Contestado por Usuario anónimo
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Si se corta la barra de hierro en x+ 2 centímetros, también sobran 10 cm y se obtendrían 5(x+1) trozos de la barra

Para poder ver esto, debemos dividir el polinomio 5x²+mx+n entre x + 1, por lo que se tendría

           |  5  m  n

      -1  |      -5   5 - m

       ---------------------

          |  5  (m - 5)  (n + 5 - m)

El método utilizado es el de Ruffini, el cual nos da el polinomio

(5x²+mx+n) / (x + 1) = 5x + (m - 5)x + (n + 5 - m)/(x+1)

Ahora bien, el resto de la división es 10, que es n + 5 - m = 10 ⇒ n - m = 5

Ahora, si dividimos el polinomio 5x²+mx+n entre x, tenemos

(5x²+mx+n) / x = 5x + m + n/x

Y el resto de esta división es 20, por lo que n = 20, entonces n - m = 5, nos da que 20 - m = 5, m = 15 lo que implica que

P(x)= 5x²+15x+20.

Si dividimos esto entre x + 2, nos queda

           |  5  15  20

      -2 |      -10   -10

       ---------------------

          |  5   5    10

O  5x²+15x+20. = 5x + 5 + 10/(x+2) = 5(x+1) + 10/(x+2)

De esto deducimos que se obtienen 5(x+1) trozos de la barra y sobran 10 cm

Ahora, como p(x) = 560, tenemos

5x² + 15x + 20 = 560

x² + 3x + 4 = 112

x² + 3x - 108 = 0

Si se aplica la resolvente de segundo grado, se tiene que x = 9 y x = -12, pero x debe ser positiva, entonces x = 9. Si esto lo aplicamos a la fórmula anterior, se tienen 5(x+1) pedazos, es decir, 5(9+1) = 5*10 = 50 pedazos

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