Question

5. Un tramo de 50. 0 m de cable coaxial tiene un conductor interno de diámetro 2. 58 mm que tiene una carga de 8. 10 μC. El conductor que lo rodea tiene un diámetro interno de 7. 27 mm y una carga de -8. 10 μC. Suponga que la región entre los conductores está llena de aire. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores?

Answer 1

La capacitancia del cable coaxial es de 2,68 nF y la diferencia de potencial entre los conductores concéntricos es de 2981 V.

¿Cómo hallar la capacitancia del cable coaxial?

Para hallar la capacitancia del cable coaxial debemos comenzar aplicando la ley de Gauss usando como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con el cable coaxial y de radio 'r' comprendido entre el radio interno 'a' y el radio externo 'b', para hallar el campo eléctrico:

$\int\limits^{}_{} {E.} \, dS =\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E.2\pi.r.L=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{Q}{2\pi.\epsilon_0.r.L}$

Luego sigue calcular la diferencia de potencial entre los dos cilindros concéntricos de radios 'a' e 'b':

$V=\int\limits^b_a {E} \, dr =\int\limits^b_a {\frac{Q}{2\pi.\epsilon_0.r.L}} \, dr=\frac{Q}{2\pi.\epsilon_0.L}.ln(\frac{b}{a})$

Ahora, la capacitancia del cable coaxil, siendo L su longitud y 'a' y 'b' sus radios interior y exterior:

$C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{2\pi.\epsilon_0.L}.ln(\frac{b}{a})}=\frac{2\pi.\epsilon_0.L}{ln(\frac{b}{a})}\\\\C=\frac{2\pi.8,85\times 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}.50m}{ln(\frac{2,58mm}{7,27mm})}\\\\C=2,68\times 10^{-9}F=2,68nF$

¿Cómo hallar la diferencia de potencial entre los conductores?

Podemos retomar la fórmula de la diferencia de potencial entre las placas para calcular dicha diferencia de potencial que hay entre los dos conductores concéntricos:

$V=\frac{Q}{2\pi.\epsilon_0.L}.ln(\frac{b}{a})=\frac{8\times 10^{-6}C}{2\pi.8,85\times 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}.50m}.ln(\frac{7,27mm}{2,58mm})\\\\V=2981V$

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