Question

5. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) , y sus focos son los puntos (0,4), (0, -4)

Answer 1

Si los focos están sobre el eje y, el radio mayor es vertical.

La ordenada del foco se la llama c = 4

Los vértices son los secundarios, sus abscisas se llaman b

El radio mayor es a = √(b² + c²) =√(4² + 4² = √32

La ecuación para esta tarea es:

x² / 16 + y² / 32 = 1

Adjunto dibujo a escala

Mateo

Answer 2

La ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos  (4, 0),  (-4, 0)   y sus focos son  F(0, 4) y F(0, -4),  es      $\bold{16~y^2~+~32~x^2~-~512~=~0}$.

Explicación paso a paso:

De la información aportada sabemos que el eje focal está en posición vertical, por lo que la ecuación canónica de la elipse viene dada por:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

• (h, k)  =  centro de la elipse
• a  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
• b  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

La longitud del eje menor es  8, lo que implica que    b  =  4

La distancia entre los focos es  8,  lo que implica que    c  =  4

También se sabe que el punto medio del segmento de recta que une los focos es el punto centro de la elipse, en este caso    (h, k)  =  (0, 0)

Luego, para completar la información de la ecuación, calculamos la distancia    a     por la relación:

a²  =  b²  +  c²        ⇒      a²  =  (4)²  +  (4)²  =  32

Sustituyendo en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(y~-~0)^2}{32}~+~\dfrac{(x~-~0)^2}{(4)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{y^2}{32}~+~\dfrac{x^2}{16}~=~1}$

$\bold{16~y^2~+~32~x^2~-~512~=~0}$

La ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos  (4, 0),  (-4, 0)   y sus focos son  F(0, 4) y F(0, -4),  es      $\bold{16~y^2~+~32~x^2~-~512~=~0}$.

La gráfica está anexa

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