Question

5. Determina la ecuación, gráfica y el ángulo de inclinación de una recta que es paralela a la recta y=4x-1, y que pasa por el punto (1,6).

Answer 1

La recta paralela a la dada y que pasa por el punto P (1,6) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = 4x +2 }}$

El ángulo de inclinación de la recta paralela a la dada es de 75.96°

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { y = 4x-1 }}$

Se solicita hallar una recta paralela a la dada y que pase por el punto (1,6) y determinar su ángulo de inclinación

Solución

Reescribimos la recta dada en la forma pendiente punto de intercepción

$\large\textsf{Escribimos en la forma pendiente punto de intercepci\'on }$

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = 4x-1 }}$

Donde

$\large\boxed {\bold { m = 4 }}$

La pendiente m de la recta dada es m = 4

Determinamos la pendiente de una recta paralela

Denotaremos a la pendiente de la recta paralela $\bold { m_{1} }$

Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente.

$\large\boxed{\bold {m_{1} =m }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =4 }}$

Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de una recta paralela será m = 4

Hallamos la recta paralela a la dada que pase por el punto P (1,6)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada, cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (1,6) tomaremos x1 = 1 e y1 = 6

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { 4 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (1,6) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (6) = 4\ (x - (1) )}}$

$\boxed {\bold { y -6 = 4\ . \ (x -1 )}}$

Resolvemos para y

$\large\textsf{Escribimos en la forma pendiente punto de intercepci\'on }$

$\boxed {\bold { y -6 = 4\ . \ (x -1 )}}$

$\boxed {\bold { y -6 = 4x-4 }}$

$\boxed {\bold { y = 4x-4 +6 }}$

$\large\boxed {\bold { y = 4x +2 }}$

Habiendo hallado la recta paralela a la dada y que pasa por el punto P (1,6)

Hallamos el ángulo de inclinación de la recta paralela a la dada y que pasa por el punto (1,6)

La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de una recta.

El ángulo de inclinación es un ángulo que se calcula desde la horizontal.

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La fórmula para calcular la pendiente de la recta es: m = tan α

Para poder hallar el ángulo de inclinación se debe determinar primero la pendiente

Ya conocemos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m_{1} =4 }}$

Hallamos el ángulo de inclinación

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = 4 }}$

$\large\textsf{Aplicamos tangente inversa }$

$\boxed{\bold { \alpha =arctan(4) }}$

$\boxed{\bold {\alpha= 75.9637^o }}$

$\large\boxed{\bold {\alpha= 75.96^o }}$

El ángulo de inclinación de la recta paralela a la dada es de 75.96°