422. Un sastre desea cortar de un trozo rectangular de tela de 6 m de largo y 4 metros de ancho una pieza con forma elíptica, de modo que sus lados mayor y menor abarquen el ancho y el largo de la misma. Para realizar esto el sastre va a utilizar dos tachuelas y una cuerda para dibujar la elipse y así después cortarla. Si se representa la elipse en un plano cartesiano, de modo que su centro sea el origen y su eje focal paralelo al eje x, es correcto afirmar que las tachuelas: A. deben ubicarse en los puntos (3, 0) y (—3, O). qué son los vértices de la elipse. B. deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (—√5, 0), que son los focos de la elipse. C. deben ubicarse en los puntos (0, 2) y (0, —2), que son los cortes con el eje normal. D. deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (3, O), que corresponden al foco y un vértice de la elipse
Respuestas a la pregunta
Las tachuelas deben ubicarse en los puntos (√5, 0) y (—√5, 0), que son los focos de la elipse.
Explicación:
La elipse es el lugar geométrico de un punto cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre la misma.
Ya que la elipse mide 6 m entre vértices, es decir, 2a = 6; y 4 m entre puntos de corte con el eje normal, es decir, 2b = 4, entonces:
2a = 6 ⇒ a = 3
2b = 4 ⇒ b = 2
En la elipse, la relación de distancias del centro al vértice (a), del centro al punto de corte con el eje normal (b) y al foco (c) es:
a² = b² + c² ⇒ c² = a² - b² ⇒
c² = (3)² - (2)² = 5 ⇒ c = √5
Dado que el centro de la elipse es el punto (0, 0), los focos serán:
(-√5, 0) ∧ (√5, 0)
y en esos puntos se deben ubicar las tachuelas para el trazado.