Question

4.- Se pretende fabricar una lata de refresco cilíndrica (con tapa) de 250 cm3 de capacidad. Cuyas dimensiones están dadas por: su radio "r" y la altura "h" , Determine:

a) la función que represente el área del material del envase, con respecto a las dimensiones "r" y "h".

b) la función que represente el área del material del envase, con respecto solo a la variable "r".

c) realice la gráfica de la función anterior.

d) a partir de la gráfica encuentre las dimensiones "r" y "h" para tener el más barato de esos recipientes (las dimensiones que minimicen la cantidad de material para formar el envase).

Answer 1

Como el envase es un cilindro, se empieza recordando las expresiones para el área del cilindro:

$A=2\pi r^2 + 2\pi r h=2\pi r(r+h)$

Y para el volumen

$V=2\pi r^2h$

El volumen es lo que nos dan como dato y es 250 centímetros cúbicos.

a) La función área en función de la altura y el radio es:

A(r,h)=2\pi r(r+h)

Que en función del par (r,h) ingresado da el área de superficie.

b) Se despeja la altura h del volumen, el cual es una constante impuesta por el planteo.

$V=\pi.r^2h\\\\h=\frac{V}{\pi r^2}$

Reemplazo en la ecuación anterior:

$A(r)=2\pi r(r+\frac{V}{\pi r^2})=2\pi r\frac{\pi r^3+V}{\pi r^2}=2\frac{\pi r^3+V}{r}$

Tengo que la función que representa el área respecto al radio es:

$A(r)=2\frac{\pi r^3+V}{r}$

c) Se adjunta la gráfica de la función hallada.

d) En el gráfico hecho con Geogebra, se puede ver el mínimo para la función en (3,41;219,65), indicando 3,41cm el radio que minimiza el área y 219,65 centímetros cuadrados el área mínima. Para hallar la altura, esta se puede despejar de la ecuación de volumen:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{250cm^3}{\pi (3,41cm)^2}=6,84cm$

Con lo que para minimizar la cantidad de material necesaria para fabricar el envase este debe tener 3,41cm de radio y 6,84cm de altura.