Question

3 Xy' -2y = x/y?
Ecuaciones diferenciales: Bernoulli

Answer 1

Respuesta:

$y^2=-2x+x^{4/3}C$

Explicación paso a paso:

Hola! recuerda que la forma de la ecuación de Bernoulli es la siguiente:

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^n$

Por eso, de tu ecuación dif. dividimos todo por 3x (ya que el coeficiente de la derivada debe ser 1):

$3xy'-2y=\frac{x}{y} \\\\y'-\frac{2}{3x}y=\frac{x}{3xy}\\\\y'-\frac{2}{3x}y=\frac{1}{3}y^{-1}$

Con el formato de la ecuación de Bernoulli, n=-1. Haciendo el cambio de variable según la ecuación:

$u=y^{1-n}\\\\u=y^{1-(-1)}\\\\u=y^2--->y=u^{1/2}$

Derivando:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-1/2} \frac{du}{dx}$

Y sustituyendo en la ecuación dif.:

$\frac{1}{2}u^{-1/2} \frac{du}{dx} -\frac{2}{3x} u^{1/2}=\frac{1}{3}(u^{1/2}) ^{-1}\\\\\frac{1}{2}u^{-1/2} \frac{du}{dx} -\frac{2}{3x} u^{1/2}=\frac{1}{3}u^{-1/2}$

Multiplicando la Ec. Dif. por 2u^(1/2):

$\frac{du}{dx}-\frac{4}{3x}u=\frac{2}{3}$

Ahora la ecuación tiene formato de Ec. Dif. Lineal:

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Y la solución es la siguiente:

$\mu =e^{\int P(x)dx }\\\\\mu =e^{\int -\frac{4}{3x} dx }\\\\\mu =e^{-\frac{4}{3} Ln(x)}\\\\\mu =e^{Ln(x^{-\frac{4}{3} })}\\\\\mu =x^{-\frac{4}{3} }$

Después:

$u\mu =\int f(x)\mu dx \\\\ux^{-\frac{4}{3} }=\int \frac{2}{3} x^{-\frac{4}{3} } dx\\\\ux^{-\frac{4}{3} }=\frac{2}{3}(-3)(x^{-1/3}) +C\\\\ux^{-\frac{4}{3} }=-2x^{-1/3} +C\\\\u=-2\frac{x^{-1/3}}{x^{-4/3}} +x^{4/3}C\\\\u=-2x+x^{4/3}C$

Por último, regresando el cambio de variable:

$y^2=-2x+x^{4/3}C$

Esta última ecuación sería la respuesta. Espero haberte ayudado, Saludos!