Question

3. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las graficas Y=6x-x2 , y=x

Answer 1

funciones involucradas
                                 $f(x)=6x-x^2 \,\,, g(x)=x$

ambas pasan por el origen, veamos dónde se cortan

$6x-x^2=x \\ x^2-5x=0\\ x(x-5)=0\\ x\in\{0,5\}$

la abscisa del otro punto de corte es x=5

Si graficas, verás que la parábola está por encima de la recta y=x

$V=\pi\int\limits_{0}^5(6x-x^2)^2-x^2dx=\pi\int\limits_{0}^5x^4 - 12x^3 + 35x^2 dx$

$V=\pi\left.\left(\frac{x^5}5 - 3x^4 + \frac{35x^3}3\right)\right |_{0}^5=\frac{625}{3}\pi$