23. A(-6,-4) y B(5,-1) Es es
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para estudiar la distancia entre dos punto consideremos la siguiente figura.
distancia entre dos puntos A y B
En la figura podemos encontrar dos puntos A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}) en el plano cartesiano unidos por un vector. La magnitud del vector coloreado en rojo y que une los puntos, es el valor que representa distancia entre los puntos A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}).
Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras
La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:
$$d(A,B)=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$$
El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitagoras. Para ello, consideremos el triángulo rectángulo de vértices
A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) y C(x_{2},y_{1}).
Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es la distancia entre los puntos
A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}).
Ya que la magnitud de los segmentos que unen A(x_{1},y_{1}) y C(x_{2},y_{1}), C(x_{2},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}) son (x_{2}-x_{1}) y (y_{2}-y_{1}) respectivamente.
El Teorema de Pitagoras afirma que el valor de la hipotenusa o la distancia entre
A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}) es
$$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$$
Ejemplos de distancia entre dos puntos
1 Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).
$$d(A,B)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.$$
2 Determinar la condición para que los puntos A(0,a) y B(1,2) disten una unidad.
Si la distancia entre A y B es uno, esto quiere decir que
$$d(A,B)=\sqrt{(1-0)^{2}+(2-a)^{2}}=1,$$
elevando al cuadrado para eliminar la raiz
$$1+(2-a)^{2}=1,$$
$$(2-a)^{2}=0,$$
$$2-a=0,$$
$$a=2.$$
3 Probar que los puntos: A(1,7), B(4,6) y C(1,-3) pertenecen a una circunferencia de centro O(1,2).
Si O es el centro de la circunferencia, para que A,B y C pertenezcan a una circunferencia, por definición las distancias de O a A, O a B y O a C deben ser iguales. Comprobemos esto utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.
$$d(O,A)=\sqrt{(1-1)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{25}=5,$$
$$d(O,B)=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,$$
$$d(O,C)=\sqrt{(1-1)^{2}+(-3-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5.$$
4Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4,-3), B(3,0) y C(0,1).
Primero calculemos las distancias entre los puntos del triángulo para poder clasificar su tipo.
$$d(A,B)=\sqrt{(3-4)^{2}+(0+3)^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{10},$$
$$d(B,C)=\sqrt{(0-3)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{10},$$
$$d(A,C)=\sqrt{(0-4)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$$
Ya que d(A,B)=d(B,C)\not=d(A,C), podemos concluir que el triángulo es no isósceles, pues si lo fuera, las distancias entre cualesquiera de sus puntos serían iguales.
Además si:
d(A,C)<d(A,B)+d(B,C) entonces el triángulo es Acutángulo,
cuando d(A,C)=d(A,B)+d(B,C) el triángulo es Rectángulo,
y finalmente, si d(A,C)>d(A,B)+d(B,C) se tiene que el triángulo es Obtusángulo.
Por lo anterior se sigue que
$$d(A,C)=\sqrt{32}>\sqrt{10}+\sqrt{10}=d(A,B)+d(B,C),$$
y por lo tanto el triángulo es Obtusángulo.
Distancia entre puntos de un triángulo