Question

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: (3,-2) y (-5, 8) y = ​

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,-2) y B (-5,8) está dada por:

Forma Explícita

$\large\boxed {\bold { y =- \frac{5}{4}x \ + \frac{7}{4} }}$

Forma General:

$\large\boxed {\bold { 5x\ +\ 4y \ - \ 7 = 0 }}$

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3,-2) y B (-5,8)

$\bold { A\ (3,-2) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( -5 , 8) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 8 - (-2) }{ -5 - (3) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 8+2 }{ -5-3 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 10 }{-8 } }}$

$\textsf{Simplificamos}$

$\large\boxed{\bold {m = -\frac{5}{4} }}$

La pendiente es igual a -5/4

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (3,-2) tomaremos x1 = 3 e y1 = -2

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=- \frac{5}{4} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { (3,-2 )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (-2) =- \frac{5}{4} \ .\ (x- (3)) }}$

$\boxed {\bold { y +2 =- \frac{5}{4} \ .\ (x-3) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y +2 =- \frac{5}{4} \ .\ (x-3) }}$

$\boxed {\bold { y +2 =- \frac{5x}{4} \ + \frac{15}{4} }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{5x}{4} \ + \frac{15}{4} -2 }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{5x}{4} \ + \frac{15}{4} -2 \ .\ \frac{4}{4} }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{5x}{4} \ + \frac{15}{4} - \frac{8}{4} }}$

$\boxed {\bold { y =- \frac{5x}{4} \ + \frac{7}{4} }}$

$\large\boxed {\bold { y =- \frac{5}{4}x \ + \frac{7}{4} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5}{4}x \ + \ \frac{7}{4} }}$

$\boxed {\bold { y +\ \frac{5}{4}x \ - \frac{7}{4} = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{5}{4}x \ +\ y \ - \frac{7}{4} = 0 }}$

Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:

Multiplicamos la ecuación por 4

$\boxed {\bold { \frac{5}{4}x \ . \ 4 \ +\ y \ . \ 4 \ - \frac{7}{4} \ . \ 4 = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{5}{\not 4}x \ . \not 4 \ +\ y \ . \ 4 \ - \frac{7}{\not4} \ . \not 4 = 0 }}$

$\large\textsf{Obteniendo }$

$\large\boxed {\bold { 5x\ +\ 4y \ - \ 7 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita

Se adjunta gráfico