Question

1.
Un gorila de 3 m de estatura observa la base de un árbol con
un ángulo de depresión de 30º y la parte
superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcula la altura del árbol.

Answer 1

La altura del árbol es de 12 metros

Explicación paso a paso:

Funciones Trigonométricas:

Datos:

y = 30 metros (altura del gorila)

α = 30°

β= 60°

La distancia del gorila al árbol:

tan α = y/x

x = y/tanα

x = 30/tan30°

x = 52m

La altura sobre la altura del gorila:

tanβ = y₂/x

y₂ = tan60°*52m

y₂ = 90 m

La altura del árbol es:

h = y+y₂

h = 30 m+ 90 m

h = 120 m

Answer 2

La altura del árbol es de 12 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.   

Con la salvedad que los triángulos dados resultan ser notables

Dado que el gorila observa la parte inferior del árbol con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 60°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD, en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo del observador- a la parte inferior del árbol-, con un ángulo de depresión de 30°, el lado DB que es una porción del árbol y a la vez coincide con la altura del gorila siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al árbol y también el otro cateto- en este caso el adyacente-, del cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x", la cual es una preincógnita

El triángulo ACD en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima del observador- a la parte superior del árbol-,con un ángulo de elevación de 60°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a una porción de la altura del árbol de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y" teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo siendo la distancia "x" al árbol

Donde se pide hallar la altura "h" del árbol

Por tanto se determinará primero la distancia "x" hasta el árbol, y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del árbol.

Solución

Emplearemos razones trigonométricas con ángulos notables

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la distancia x - distancia del gorila al árbol-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 30^o }$

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ altura\ gorila \ }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ gorila }{ tan(30)^o } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{3 \ m }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 3 \ m \ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

Operamos para quitar la raíz del denominador

$\boxed{\bold { distancia\ x = 3 \ m \ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = 3 \ m \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = \not 3 \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{\not3 } \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 3\sqrt{3} \ metros } }$

Luego la distancia del gorila al árbol es de 3√3 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la distancia y - parte de la altura del árbol-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 60^o }$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(60)^o } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 3\sqrt{3}\ m \ . \ \sqrt{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 3\ . \sqrt{3} \ . \ \sqrt{3} \ m } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 3\ .\ ( \sqrt{3} )^{2} \ m } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 3\ .\ 3 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 9 \ metros } }$

Hallamos la altura h del árbol

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = altura \ gorila+\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = 3 \ m+\ 9 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Arbol\ (h) = 12 \ metros } }$

La altura del árbol es de 12 metros