Question

1. Encuentre los dos posibles valores de λ en los siguientes casos y grafique los puntos en el plano cartesiano:

a. De modo que los puntos P y Q se encuentren a 13 unidades de distancia P(7,λ) y Q(-5,2)

b. De modo que los puntos M y N se encuentren a √73 unidades de distancia M(-3,-5) y Q(-6,λ)

Fórmula: d(P,Q) = √(x_2 - x_1 )² + (y_2 - y_1 )² )

Answer 1

a)  P (7 , Y1); Q (-5 , 2)

X1 = 7; Y1 = Y1; X2 = - 5; Y2 = 2

$d= \sqrt{(X2 - X1)^{2}+(Y2 - Y1)^{2}}$

d = 13 Unidades

13 =$\sqrt{(X2 - X1)^{2}+(Y2 - Y1)^{2}}$

13 = $\sqrt{(-5 - 7)^{2}+(2 - Y1)^{2}}$  (Elevo ambos terminos de la igualdad al cuadrado)

(13)² = (-12)² + (2 - Y1)²

169 = 144 + 4 - 4Y1 + Y1²

169 = 148 - 4Y1 + Y1²

0 = 148 - 169 - 4Y1 + Y1²

0 = -21 - 4Y1 + Y1²

Y1² - 4Y1 - 21 = 0 (Ecuacion de segundo grado para Y1)

Donde: a = 1; b = -4; c = -21

$Y1=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$Y1=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-21)}}{2(1)}$

$Y1=\frac{4\pm \sqrt{16+84}}{2}$

$Y1=\frac{4\pm \sqrt{100}}{2}$

$Y1=\frac{4\pm \ 10}{2}$

Y1(1) = [4 + 10]/2 = 14/2 = 7

Y1(2) = [4 - 10]/2 = -6/2 = -3

Vemos que Y1 puede tomar los dos Valores de 7 y -3 y ambos cumplen con la distancia

P (7,7) Q(-5,2) o P (7 ,-3) Q (-5,2).

b) M:(-3,-5); Q (-6, Y2)

$d= \sqrt{(X2 - X1)^{2}+(Y2 - Y1)^{2}}$

d = √(73)

X1 = -3; Y1 = -5; X2 = -6; Y2 = Y2

$\sqrt{73}= \sqrt{(-6 - (-3))^{2}+(Y2 - (-5))^{2}}$

$\sqrt{73}= \sqrt{(-6+3)^{2}+(Y2+5)^{2}}$

$\sqrt{73}= \sqrt{(-3)^{2}+(Y2+5)^{2}}$ (Elevo ambos terminos al cuadrado)

$( \sqrt{73})^{2} = (\sqrt{(-3)^{2}+(Y2+5)^{2}})^{2}$

73 = (-3)² + (Y2 + 5)²

73 = 9 + (Y2² + 10Y2 + 25)

73 = 9 + Y2² + 10Y2 + 25

73 = Y2² + 10Y2 + 34

0 = Y2² + 10Y2 + 34 - 73

0 = Y2² + 10Y2 - 39 (Ecuacion de segundo grado para Y2)

Donde: a =1; b = 10; c = -39

$Y2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$Y2=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4(1)(-39)}}{2(1)}$

$Y2=\frac{-10\pm \sqrt{100+156}}{2}$

$Y2=\frac{-10\pm \sqrt{256}}{2}$

$Y2=\frac{-10\pm \ 16}{2}$

Y2(1) = [-10 + 16]/2 = 6/2 = 3

Y2(2) = [-10 - 16]/2 = -26/2 = -13

Y2 = 3 o Y2 = -13

Entonces los puntos pueden ser:

M(-3,-5) y Q(-6 , 3) o M(-3,-5) y Q(-6 , -13)


Te anexo las graficas de las dos situaciones