Question

y=x³-9x maximo y minimo por el segundo criterio​

Answer 1

Criterio de la segunda derivada

El criterio de la segunda derivada nos dice que si al evaluar un punto crítico en la segunda derivada podrían pasar dos cosas

1: Si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada nos da un valor positivo quiere decir que ese punto representa un valor mínimo

2: Si al evaluar el punto critico en la segunda derivada nos da un valor negativo quiere decir que ese punto representa un valor máximo

Matemáticamente se representa

F"(c)<0 es un máximo

F"(c)>0 es un mínimo

F"(c)=0 posible punto de infección

Resolviendo

1: Derivados la función

y=x³-9x

y'=3x²-9

2: Igualamos a cero

0=3x²-9

3: Despejados "x'

3x²-9=0

3x²=9

x²=9/3

x²=3

x1=+√3

x2=-√3

4: Obtenemos la segunda derivada

y'=3x²-9

y"=6x

5: Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada, que son aquellos que calculamos en el paso 3

Evaluando para x1

y"=6x

y"(x1)=y"(+√3)=6(√3)

Evaluando para x2

y"=6x

y"(x2)=y"(-√3)=6(-√3)=-6√3

Como vemos para x1 el valor de la segunda derivada es positivo por lo que x1 es un punto critico que nos arroja un máximo

Como vemos para x2 el valor de la segunda derivada es negativo por lo que x2 es un punto critico que nos arroja un mínimo

Todo eso por el punto criterio de la segunda derivada.

6: Ahora con esa información lo único que hace falta es evaluar los puntos críticos en la función original y ya con eso tienes los puntos máximo y mínimo

Para el punto máximo

$y = {x}^{3} - 9x \\ y( - \sqrt{3} ) = {( - \sqrt{3}) }^{3} - 9 ( - \sqrt{3} ) \\ y( - \sqrt{3} ) = - 3 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} \\ y( - \sqrt{3} ) = 6 \sqrt{3}$

Entonces el punto máximo es

$pmax= ( - \sqrt{3} ,6 \sqrt{3} )$

Para el punto mínimo es

$y = {x}^{3} - 9x \\ y( \sqrt{3} ) = {( \sqrt{3}) }^{3} - 9 ( \sqrt{3} ) \\ y( \sqrt{3} ) = 3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3} \\ y( \sqrt{3} ) = - 6\sqrt{3}$

Entonces el punto minimo es

$pmin = ( \sqrt{3} , - 6 \sqrt{3} )$