Matemáticas, pregunta formulada por kindlex, hace 1 año

∠XY denota el ángulo entre los vectores X y Y de R¹⁰, entonces, ¿∠XY es el único número entre 0 y Pi tal qué ?


CarlosMath: tal qué...?
kindlex: Eso es lo que quiero saber, así está la pregunta en el taller.
CarlosMath: tal que cos ∠XY = X . Y / |X| |Y|
kindlex: Gracias.

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
1
Sea \theta el ángulo entre los vectores \vec X\vec Y

1) Ley de cosenos
 
   \left\|\vec X + (-\vec Y)\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|-\vec Y\right\|^2+2\left\|\vec X\right\|\left\|-\vec Y\right\|\cos (\pi-\theta)\\ \\ \\ 
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|\vec Y\right\|^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta


2) Note que \left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right)

- Ley distributiva del producto escalar con respecto a la diferencia
   
    \left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot \vec X-\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot\vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X\cdot \vec X-\vec Y\cdot \vec X\right)-\left(\vec X\cdot \vec Y-\vec Y\cdot\vec Y\right)\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec Y\cdot \vec X-\vec X\cdot \vec Y

- El producto escalar entre vectores es (un operador) conmutativo
 
   \left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec X\cdot \vec Y-\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)

3) Por (1):
 
      \vec X^2+\vec Y^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec X\cdot \vec Y}{\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|}}



Otras preguntas