Question

x²+5y²-4x-50y+124=0
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Answer 1

Tenemos la ecuación (es de una elipse):

$x^{2} + 5y^{2} - 4x -50y +124 =0$

Agrupamos las "x" y las "y":

$\rightarrow x^{2} -4x + 5y^{2} -50y +124 =0$

$\rightarrow (x^{2} -4x) + 5(y^{2} -10y) +124 =0$

Quitamos la igualdad de 0:

$\rightarrow (x^{2} -4x) + 5(y^{2} -10y) =-124$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto:

•Si la estructura de un trinomio al cuadrado perfecto es:

$a^{2} +2ab+b^{2}$

•Para "x²-4x" :

$\bold{a^{2}:} a^{2} =x^{2} \rightarrow a=\sqrt{x^{2} } \rightarrow \underline{a=x}$

$\bold{2ab:} 2ab=-4x \rightarrow (2)(a=x)(b)=-4x \rightarrow (2)(x)(b)=-4x \rightarrow b= \frac{-4x} {2x} \rightarrow \underline{b=-2}$

$\bold{b^{2}:} b^{2}=(-2)^{2} \rightarrow \underline{b^{2}=4}$

Por ende:

$\bold{ \underline{ x^{2} -4x+4 }}$

•Para "y²-10y" :

$\bold{a^{2} :} a^{2} =y^{2} \rightarrow a=\sqrt{y^{2} } \rightarrow \underline{a=y}$

$\bold{2ab:} 2ab=-10y \rightarrow (2)(a=y)(b)=-10y \rightarrow (2)(y)(b)=-10y \rightarrow b= \frac{-10y} {2y} \rightarrow \underline{b=-5}$

$\bold{b^{2}:} b^{2}=(-5)^{2} \rightarrow \underline{b^{2}=25}$

Por ende:

$\bold{ \underline{ y^{2} -10y+25 }}$

Ponemos los trinomios cuadrados perfectos ya completos:

$\rightarrow (x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =-124$

Como agregamos números a un lado de la ecuación equilibramos poniendo esos números al otro lado de la ecuación:

$\rightarrow (x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =-124+4+5(25)$

Hacemos la suma:

$\rightarrow (x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =-124+4+125$

$\rightarrow \underline{(x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =5}$

ya que tenemos esto procedemos a formar la ecuación de la elipse:

Sabemos que una elipse se expresa con esta ecuación:

$\frac{(x-h)^{2} }{a^{2} } +\frac{(y-k)^{2} }{b^{2} } =1$

Tenemos esta ecuación:

$(x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =5$

Para pasar a la ecuación de la elipse hacemos lo siguiente:

Primero dividimos toda la ecuación entre 5 para obtener el "=1"

$\rightarrow ((x^{2} -4x+4) + 5(y^{2} -10y+25) =5)(\frac{1}{5} )$

$\rightarrow \frac{(x^{2} -4x+4) }{5} + \frac{5(y^{2} -10y+25) }{5} = \frac{5}{5}$

$\rightarrow \frac{(x^{2} -4x+4) }{5} + \frac{(y^{2} -10y+25) }{1} = 1$

Ahora para obtener el a y la b sacamos la raíz cuadrada (√) de los denominadores de las fracciones:

$\rightarrow \frac{(x^{2} -4x+4) }{\sqrt{5} } + \frac{(y^{2} -10y+25) }{\sqrt{1} } = 1$

$\rightarrow \frac{(x^{2} -4x+4) }{\sqrt{5} } + \frac{(y^{2} -10y+25) }{ 1 } = 1$

Ahora para obtener el a² y la b² elevamos "a" y "b" al cuadrado ²

$\rightarrow \frac{(x^{2} -4x+4) }{( \sqrt{5} )^{2} } + \frac{(y^{2} -10y+25) }{ (1)^{2} } = 1$

Finalmente para sacar (x-h)² y (y-k)² simplemente convertimos los trinomios cuadrados perfectos (a²+2ab+b²) en binomios al cuadrado (a+b)²:

a y b los hemos calculado arriba, a la hora de completar los trinomios cuadrados perfectos.

$\rightarrow \bold{ \underline{ \frac{(x-2)^{2} }{( \sqrt{5} )^{2} } + \frac{(y-5)^{2} }{ (1)^{2} } = 1 }}$

¡Listo!, la ecuación de la elipse es:

$\bold{ \underline{ \frac{(x-2)^{2} }{( \sqrt{5} )^{2} } + \frac{(y-5)^{2} }{ (1)^{2} } = 1 }}$

Y es una elipse:

•con un centro (h,k) en (2,5)

•con un semieje de abcisas (a) de √5

•con un semieje de ordenadas (b) de 1

•como b<a su eje mayor es el horizontal

•y cuya gráfica es: