Question

x²-5x+(a²-1)=0 que valor debe tomar "a" para que un de las raíces de la ecuación sea 0 ​

Answer 1

Analicemos la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas.

                                     $x_1,\ x_2 = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Para que una de las raíces sea igual a cero hay que conseguir que el radical tenga un valor que al operar con (-b) se haga cero en una de sus dos soluciones ya que puedes ver que las raíces cuadradas siempre tienen dos soluciones: positiva y negativa.

Anoto el valor de los coeficientes de la ecuación:

• a = 1
• b = -5
• c = a²-1

Al sustituir el coeficiente "b" en la ecuación, veremos que el primer término del numerador es:  -(-5) = 5

Por tanto, el discriminante (lo de dentro del radical)  hay que igualarlo al cuadrado de 5 del tal modo que al extraer la raíz cuadrada tengamos la operación que buscamos para que el numerador sea cero en una de las soluciones.

No veo forma de explicarlo mejor así que realizaré las operaciones con la esperanza de que se entienda mejor.

Operaré solo con el radical.

$\pm\sqrt{b^2-4ac}$

Y haré lo explicado antes:  igualar el discriminante al cuadrado de 5 que es 25

                                     $b^2-4ac = 25\\ \\ (-5)^2-4*1*(a^2-1)=25\\ \\ 25-4a^2+4=25\\ \\ -4a^2+4=25-25\\ \\ -4a^2+4=0\\ \\ 4=4a^2\\ \\ a^2=\dfrac{4}{4} \\ \\ a^2=1\\ \\ a=\pm\sqrt{1} \\ \\ a=\pm1$

Compruebo que el valor de "a" es doble: con signo +  y con signo -

Tomaremos el valor positivo y lo sustituiré en la expresión para ver si se cumple que una de las raíces es cero.

Si decimos que a=1, tenemos que la expresión es:

1² - 1 = 0 así que el coeficiente "c" es 0 y lo sustituimos en el discriminante.

                               $x_1,\ x_2 = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4*1*0} }{2*1}\\ \\ \\ x_1,\ x_2 = \dfrac{5\pm\sqrt{25-0} }{2}\\ \\ \\ x_1,\ x_2 = \dfrac{5\pm5 }{2}\\ \\ \\ \bold{Y\ las\ soluciones\ son\ ...} \\ \\ \\ x_1=\dfrac{5+5}{2} =\dfrac{10}{2} =5\\ \\ \\ \boxed{\bold{x_2=\dfrac{5-5}{2} =\dfrac{0}{2} =0}}$

Así queda comprobado que "a" debe tomar el valor +1  para que una de las raíces sea cero