Question

x₁ , x₂ son soluciones de la ecuación 2sen²x+9senx-5=0 cuando 0 < x < π , hallar la extensión de E=csc²x₃-3cscx₃+3 ,si x₁ < x₃ < x₂

Answer 1

factorizamos

2sen²x+9senx-5=0

senx=1/2 v senx=-5

pero -1≤senx≤1

senx=sen30°=1/2

sen(180°-30°)=sen30°=1/2

sen30°=1/2

de acuerdo a la condición

x₁ < x₃ < x₂

30° < x₃ < 150°
(ver adjunto)

1/2<senx₃≤1

ahora :

E=csc²x₃-3cscx₃+3 ,si x₁ < x₃ < x₂

E=csc²x₃-3cscx₃+(3/2)²-(3/2)²+3

E=[cscx₃-3/2]²-(3/2)²+3

E=[cscx₃-3/2]²+3/4

desarrollamos

1/2<senx₃≤1 ; invertimos

1≤cscx₃<2

1-3/2≤cscx₃-3/2<2-3/2

-1/2≤cscx₃-3/2<1/2 : elevamos al cuadrado

0≤[cscx₃-3/2]²≤1/4

0+3/4≤[cscx₃-3/2]²+3/4≤1/4+3/4

3/4≤[cscx₃-3/2]²+3/4≤1

3/4≤E≤1

E∈[3/4;1]

AUTOR: SmithValdez