Question

{x elevado 2+1/x∈x,3

Answer 1

Respuesta:

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 En cada uno de los siguientes casos

a) A = {(x, y) ∈ R

2

: −1 < x < 1,−1 < y < 1}.

b) A = {(x, y) ∈ R

2

: 1 < x

2 +y

2 < 4}.

c) A = {(x, y) ∈ R

2

: y > 0}.

se pide:

i) Determinar la frontera del conjunto A.

ii) Probar que el conjunto A es abierto

iii) Dado X0 ∈ A, determinar un valor r > 0 tal que Br(X0) ⊂ A.

SOLUCIÓN:

a) La frontera de A está formada por los lados del cuadrado representado en la

figura 1.12.(a).

Fr(A) ={(x,1) ∈ R

2

: −1 ≤ x ≤ 1} ∪ {(x,−1) ∈ R

2

: −1 ≤ x ≤ 1}

∪ {(1, y) ∈ R

2

: −1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(−1, y) ∈ R

2

: −1 ≤ y ≤ 1}.

Por tanto, A es un conjunto abierto ya que no contiene puntos de la frontera, o

equivalentemente

A∩Fr(A) = /0.

Sea X0 = (x0, y0) ∈ A. Para determinar un valor de r de tal manera que Br(X0) ⊂

A, calculamos la mínima distancia de X0 a los puntos que están en la Fr(A).

Notaremos a esta mínima distancia por d(X0,Fr(A)). En nuestro caso,

d(X0,Fr(A)) = m´ın{1−x0,1+x0,1−y0,1+y0} > 0.

Entonces podemos tomar cualquier valor r tal que 0 < r < d(X0,Fr(A)). En

particular, si tomamos

r =

1

2

d(X0,Fr(A)) = 1

2

m´ın{1−x0,1+x0,1−y0,1+y0},

podemos asegurar que Br(X0) ⊂ A (ver figura ?

Explicación paso a paso: