Question

X al cuadrado/x - a > o igual x+1

a pertenece a los reales.


Cuál es la restricción? Explique porque se debe efectuar restricción.

Resolver la inecuación incluyendo un valor cualquiera positivo para a.

Resolver la inecuacion para valores negativos de a.

Answer 1

$I: \dfrac{x}{x-a}\geq x+1\\ \\ I\Longrightarrow\dfrac{x}{x-a}-(x+1)\geq 0\\ \\ I\Longrightarrow\dfrac{x-(x-a)(x+1)}{x-a}\geq 0\\ \\ I\Longrightarrow\dfrac{x-(x^2+x-ax-a)}{x-a}\geq 0\\ \\ I\Longrightarrow\dfrac{ax+a-x^2}{x-a}\geq 0\\ \\ I\Longrightarrow\dfrac{x^2-ax-a}{x-a}\leq 0$

$I\Longrightarrow (x^2-ax-a)(x-a)\leq 0 \wedge x\neq a\\ \\ \\ \texttt{Calculando "los puntos cr\'iticos": }\\ \\ \bullet\; x^2-ax-a=0\iff x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2+4a}}{2}\\ \\ \\ \bullet\; x-a=0 \iff x=a\\ \\ \\ \texttt{Antes de continuar hagamos una observaci\'on en }\\ \\ \hspace*{3cm}x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2+4a}}{2}\\ \\ \\ \bullet\bullet\; \texttt{Cuando }a^2+4a\ \textless \ 0 \\ \\ \hspace*{2cm}a(a+4)\ \textless \ 0\iff a\in (-4,0)\\ \\ \texttt{En este caso se tiene que }x^2-ax-a\ \textgreater \ 0\; ,\forall a\in(-4,0)$


$\texttt{por ende la inecuaci\'on se reduce a: } x-a\ \textgreater \ 0\iff x \ \textless \ a\; ,\\ \forall a\in(-4,0)\\ \\ \\ \bullet\bullet\; \texttt{Cuando }a^2+4a\geq 0\\ \\ \hspace*{2cm}a(a+4)\geq 0\iff a\in (-\infty,-4]\cup [0,+\infty)\\ \\ \\ \texttt{Se tendr\'a este formato de soluciones: }\\ \\ \textcircled{1}: x\in (-\infty,a)\cup \left[\dfrac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2},\dfrac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\right]\\ \\ \\ \textcircled{2}: x\in\left(-\infty,\dfrac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2}\right] \cup \left(a,\dfrac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\right]$

$\textcircled{3}: \left(-\infty,\dfrac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2}\right]\cup \left[\dfrac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2},a\right)$