Question

x/-4=3/5+3(x/5-1/2)
el valor de las x

Answer 1

Respuesta:

10.2. Soluciones desarrolladas

Nada se aprende mirando las soluciones sin haber estudiado antes la teor´ıa e intentado

los problemas. En algunos casos estas soluciones son un poco esquem´aticas. Se deja al lector

completar los detalles.

Numeros ´ naturales, racionales y reales

1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos.

El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0. Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por

tanto x ∈ (−2, 1). El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que

se dan simult´aneamente para x > 3.

Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3,∞).

b) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1/2. Si

−3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x+1)+(x+3) < 5 que se cumple siempre. Finalmente,

si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9/2.

Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9/2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1/2), es

decir, (−9/2, 1/2).

2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2.

b) √xy ≤

x + y

2

⇔ 2

√xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x

2 + 2xy + y

2 ⇔ 0 ≤ x

2 − 2xy + y

2 y esto

se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y)

2

.

3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1

2 = 1(1 + 1)(2 + 1)/6. Ahora partiendo de

la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1. Con este

fin sumamos (n + 1)2

en ambos miembros. El primer miembro es lo que esperamos y podemos

manipular el segundo de la siguiente forma:

n(n + 1)(2n + 1)

6

+ (n + 1)2 =

n + 1

6

n(2n + 1) + 6(n + 1)

=

n + 1

6

2n

2 + 7n + 6

.

Factorizando, 2n

2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior

es (n + 1)

(n + 1) + 1

2(n + 1) + 1

/6, como deseamos.

4) a) x

4 < 9 ⇔ x

2 < 3 ⇔ |x| <

√

3 que representa el intervalo (−

√

3,

√

3), por tanto

´ınf = −

√

3 y sup =

√

3.

b) x

5 < 9 ⇔ x <

√5

9 por tanto no est´a acotado inferiormente y sup =

√5

9.

c) Los elementos negativos son de la forma −1 −

1

n

con n impar. Claramente su ´ınfimo

es el que corresponde a n = 1, es decir, ´ınf = −2. El resto de los elementos son de la forma

1−

1

n

con n par. El supremo es 1 porque van acerc´andose indefinidamente a este valor sin llegar

a superarle.

Explicación paso a paso:

Answer 2

10.2. Soluciones desarrolladas

Nada se aprende mirando las soluciones sin haber estudiado antes la teor´ıa e intentado

los problemas. En algunos casos estas soluciones son un poco esquem´aticas. Se deja al lector

completar los detalles.

Numeros ´ naturales, racionales y reales

1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos.

El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0. Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por

tanto x ∈ (−2, 1). El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que

se dan simult´aneamente para x > 3.

Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3,∞).

b) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1/2. Si

−3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x+1)+(x+3) < 5 que se cumple siempre. Finalmente,

si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9/2.

Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9/2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1/2), es

decir, (−9/2, 1/2).

2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2.

b) √xy ≤

x + y

2

⇔ 2

√xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x

2 + 2xy + y

2 ⇔ 0 ≤ x

2 − 2xy + y

2 y esto

se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y)

2

.

3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1

2 = 1(1 + 1)(2 + 1)/6. Ahora partiendo de

la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1. Con este

fin sumamos (n + 1)2

en ambos miembros. El primer miembro es lo que esperamos y podemos

manipular el segundo de la siguiente forma:

n(n + 1)(2n + 1)

6

+ (n + 1)2 =

n + 1

6

n(2n + 1) + 6(n + 1)

=

n + 1

6

2n

2 + 7n + 6

.

Factorizando, 2n

2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior

es (n + 1)

(n + 1) + 1

2(n + 1) + 1

/6, como deseamos.

4) a) x

4 < 9 ⇔ x

2 < 3 ⇔ |x| <

√

3 que representa el intervalo (−

√

3,

√

3), por tanto

´ınf = −

√

3 y sup =

√

3.

b) x

5 < 9 ⇔ x <

√5

9 por tanto no est´a acotado inferiormente y sup =

√5

9.

c) Los elementos negativos son de la forma −1 −

1

n

con n impar. Claramente su ´ınfimo

es el que corresponde a n = 1, es decir, ´ınf = −2. El resto de los elementos son de la forma

1−

1

n

con n par. El supremo es 1 porque van acerc´andose indefinidamente a este valor sin llegar

a superarle.

Ver más en Brainly.lat - https://brainly.lat/tarea/14348438#readmore