Question

x^2 y^''-xy^´+2y=xln⁡x soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler

Answer 1

Respuesta:

y(x) = x*( c1 +cos(ln(x)) + c2*sin(ln(x)) ) + xln(x)

Explicación paso a paso:

Al momento de resolver una ecuación diferencial no homogénea, la solución se obtendrá resolviendo una solución general homogénea y sumándola con una solución particular, que se halla haciendo uso de la comparación de coeficientes. Por ejemplo:

$y'' + 3y' -y = sin(t)$

La Solución general será la solución de:

$y''+3y'-y=0$

y solucion la particular se asume que es de la forma

$y = asin(t) + bcos(t)$

y se hallan los valores de a y b que satisfagan

$y'' + 3y' -y = sin(t)$.

Para el problema en específico, nuestra solución general es la solución de

$x^{2} y'' -xy' +2y = 0$

Haciendo uso del método de Cauchy-Euler, se sustituye

$y = x^{m}$

en la ecuación diferencial, que queda así

$m(m-1)x^{2}x^{m-2}-mxx^{m-1}+2x^{m}=0\\m(m-1)x^{m}-mx^{m}+2x^{m}=0\\x^{m}[ m(m-1) -m +2 ] = 0\\x^{m}( m^{2} - 2m + 2 ) =0$

Puesto que x ≠0, tenemos

$m^{2} -2m +2 = 0\\m = \frac{2\pm\sqrt{2^{2} - 4*2*1}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2\pm2i}{2}\\m = 1 \pm i$

Lo que da:

$y_h(x) = c_1x^{1+i} + c_2x^{1-i} = x( c_1x^{i} + c_2x^{-i} )\\\\x^{a} = e^{aln(x)}\\e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)\\y_h(x) = x(c_1e^{iln(x)} + c_2e^{-iln(x)}) = x[ c_1cos(ln(x)) +ic_1sin(ln(x)) + c_2cos(ln(x)) -ic_2sin(ln(x)) ] = x[ (c_1+c_2)cos(ln(x)) +i(c_1-c_2)sin(ln(x)) ]\\\\Sea: \\k_1 = c_1+c_2\\k_2 = i(c_1-c_2)\\y_h(x) = x( k_1cos(ln(x)) + k_2sin(ln(x)) )$

Ahora pasaremos a hallar la solución particular de la ecuación diferencial

Consideremos la funcion

$y_p(x)= axln(x)$

donde a es una constante.

Hallamos sus derivadas:

$y_p'(x) = a(ln(x) + 1)\\y_p''(x) = \frac{a}{x}$

Substituyendo en la ecuacion diferencial tenemos

$x^{2}\frac{a}{x} - ax(ln(x) + 1) +2axln(x) = xln(x)\\ax -axln(x) -ax + 2axln(x) = xln(x)\\2axln(x) -axln(x) = xln(x)\\axln(x) = xln(x)\\a = 1$

Por lo tanto, $y_p(x)=xln(x)$

y la solución a la ecuación diferencial no homégena es

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = x(k_1cos(ln(x) + k_2sin(ln(x)) ) + xln(x) \\= x( ln(x) +k_1cos(ln(x)) +k_2sin(ln(x)) )$

Answer 2

Respuesta:

buena a seguir trabajando