Question

WNAE, estación de AM dedicada a la transmisión de noticias, encuentra que la distribución del tiempo que los radioescuchas sintonizan la estación tiene una distribución normal. La media de la distribución es de 15.0 minutos, y la deviación estándar de 3.5. ¿Cuál la probabilidad de que un radio escucha sintonice la estación:
a. Más de 20 minutos?
b. 20 minutos o menos?
c. Entre 10 y 12 minutos?

Answer 1

Con estas estadísticas un radioescucha de WNAE tiene probabilidad del 7,64% de sintonizar la estación durante más de 20 minutos, probabilidad del 92,36% de sintonizarla 20 minutos o menos y 11,85% de sintonizarla entre 10 y 12 minutos.

Explicación:

Si la distribución del tiempo que los radioescuchas sintonizan la estación WNAE sigue una distrubución normal, el procedimiento será generar la variable z(x) de esta forma:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Donde X es el valor que toma la variable aleatoria con distribución normal. Con z ingresamos luego a las tablas de distribución normal.

a) En las tablas de distribución normal, se tabula la probabilidad de que z sea menor o igual al valor con que se ingresa, por lo que la probabilidad de que el tiempo sea mayor a 20 minutos será:

$z=\frac{20-15}{3,5}=1,43$

$P(t>20)=1-P(z\leq 1,43)=1-0,9236=0,0764=7,64\%$

El valor P(z≤1,43) lo sacamos de las tablas ingresando con el valor 1,43 de z.

b) En este caso el valor de z es el mismo que en el punto anterior, 1,43, ya que la variable tiempo también vale 20. Pero ahora en las tablas de distribución normal tenemos el valor que sacamos de la tabla:

P(z≤1,43)=P(t≤20)=0,9236=92,36%.

c) En este caso empezamos hallando los valores de z para 10 y 12 minutos:

$z(10)=\frac{10-15}{3,5}=-1,43\\\\z(12)=\frac{12-15}{3,5}=-0,86$

Tenemos que la probabilidad de que el tiempo esté entre 10 y 12 minutos es:

P(10≤t≤12)=P(t≤12)-P(t≤10)

Si vamos a las tablas de distribución normal con los valores de z tenemos:

P(10≤t≤12)=P(z≤-0,86)-P(z≤-1,43)=0,1949-0,0764=0,1185=11,85%

Answer 2

La probabilidad de que un radio escucha sintonice la estación:

a. Más de 20 minutos: 0,07636

b. 20 minutos o menos: 0,92364

c. Entre 10 y 12 minutos:  0,11853

Explicación:

Probabilidad de distribución Normal

Datos:

μ = 15 min

σ = 3,5 min

Tipificación de la variable Z:

Z = (x-μ)/σ

La probabilidad de que un radio escucha sintonice la estación:

a. Más de 20 minutos:

Z = (20-15)/3,5 = 1,43 Valor que ubicamos en la Tabla de Distribución Normal y obtenemos la probabilidad

P(x≤20) = 0,92364

P (x≥20) = 1-0,92364 = 0,07636

b. 20 minutos o menos:

P(x≤20) = 0,92364

c. Entre 10 y 12 minutos:

Z₁ = (10-15)/3,5 = -1,43  Valor que ubicamos en la Tabla de Distribución Normal y obtenemos la probabilidad

P(x≤10) = 0,07636

Z₂ =(12-15)/3,5 = -0,86  Valor que ubicamos en la Tabla de Distribución Normal y obtenemos la probabilidad

P(x≤12) = 0,19489

P(10≤x≤12) = 0,19489 - 0,07636 = 0,11853

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