Física, pregunta formulada por oicor1545, hace 1 año

.-¡Vroom, vroom! Tan pronto como un semáforo se pone en verde, un automóvil aumenta rapidez desde el reposo a 50.0 mi/h con aceleración constante de 9.00 mi/h · s. En el carril de bicicletas, un ciclista aumenta la rapidez desde el reposo a 20.0 mi/h con aceleración constante de 13.0 mi/h · s. Cada vehículo mantiene velocidad constante después de alcanzar su rapidez de crucero. a) ¿Para qué intervalo de tiempo la bicicleta está adelante del automóvil? b) ¿Por cuánta distancia máxima la bicicleta adelanta al automóvil?

Respuestas a la pregunta

Contestado por Hekady

¿Para qué intervalo de tiempo la bicicleta está adelante del automóvil?
Respuesta: El carro alcanzó y sobrepasó a la bicicleta para el segundo tramo del movimiento

v = vo + at

CARRO
v₀ = 0, v₁ = 50 mi/h, a₁ = 9 mi/h×s

v₁ = v₀ + a₁ × t₁

Calculados t₁: t₁ = (v₁ - v₀)/a₁ = (50 - 0)/9 = 5.555 s

BICICLETA
v₀ = 0, v₂ = 20 mi/h , a₂ = 13 mi/h×s

v₂ = v₀ + a₂ × t₂

Calculados t₂: t₂ = (v₂ - v₀)/a₂ = (20 - 0)/13 = 1.538 s

Calculamos la distancia recorrida por ambos móviles en los tiempos t₁ y t₂:

x = v₀ × t + at²/2

Pasamos a millas por segundo cuadrado:

9 mi/h×s = 0.0025 mi/s²
13 mi/h×s = 0.0036 mi/s²

Para el carro:

x₁₁ = 0 + [0.025 × (5.555)²]/2 = 0.0386 mi

x₁₂ = 0 + [0.025 × (1.538)²]/2 = 0.002956 mi

Para la bicicleta:

x₂₂ = 0 + [0.0036 × (1.538)²]/2 = 0.004257 mi

*Para calcular el x₂₁, se emplea la fórmula de MRU:

v = x × t

Pero el MRU de la bicicleta empieza en el tiempo t₂, por lo que para saber la distancia x₂₁ recorrida por la bicicleta para el tiempo t₁ se debe calcular la distancia x’ recorrida durante el MRU en un tiempo t’ = t₁ – t₂ y sumársela a la distancia x₂₂:

x₂₁ = x₂₂ + x'

x' = v₂ × t'

t' = t₁ - t₂ = 4.017094s = 0.001116 h

Entonces:

x' = 20 mi/h × 0.001116 h = 0.02232 mi

x₂₁ = (0.00426 + 0.02232)mi = 0.02658 mi

* Para el tiempo t₂:

- Carro: 0.001923 mi
- Bicicleta: 0.00426 mi

El carro no ha alcanzado a la bicicleta para el primer tramo del movimiento.

* Para el tiempo t₁:

- Carro: 0.03858 mi
- Bicicleta: 0.02658 mi

El carro alcanzó y sobrepasó a la bicicleta para el segundo tramo del movimiento.

Contestado por alaneduardovaldez

Respuesta:

a) $t=3.45s$

b) $\Delta x_{max}=2.11m=6.92pies$

Explicación:

Para trabajar cómodamente convertiremos todas las unidades al Sistema Internacional (no mostraré el procedimiento para no alargar la explicación).

$50mi/h=22.3472m/s\\$

$9mi/h\cdot s=4.0225m/s^2$

$20mi/h=8.938m/s$

$13mi/h\cdot s=5.81m/s^2$

Debemos razonar muy bien como es el movimiento de ambos vehículos para entender el problema (puede ser útil dibujar este caso) imaginémoslo como una película; Primero el automóvil y la bicicleta están parados esperando a que se ponga el verde, eso quiere decir que la velocidad de ambos es ``cero´´ al inicio; posteriormente cambia a verde y ambos aceleran a diferentes magnitudes, la bicicleta alcanza su velocidad de crucero y para de acelerar, el automóvil alcanza su velocidad de crucero y también deja de acelerar.

Recordando que ambos empiezan en un tiempo de cero, la ecuación que relaciona posición con aceleración y tiempo es:

$x_{f}=x_i+v_{i}t+\frac{1}{2}at^2$

Y debido a que la posición inicial y velocidad inicial son cero, la ecuación queda así:

$x_f=\frac{1}{2}at^2$

De aquí podemos ver que la posición es proporcional a la aceleración, es decir cuanto mas grande la aceleración mas grande la posición final y viceversa. La bicicleta tiene mayor aceleración que el automóvil, así que no es posible que el automóvil la rebasé mientras la bicicleta esta acelerando, después que deje de acelerar la bicicleta entonces el auto ahora si la rebasaría (siempre que el auto siga acelerando).

Obtendremos el tiempo en que ambos vehículos llegan a su velocidad de crucero con la ecuación:

$v_f=v_i+at$

Despejando el tiempo tenemos...

$t=\frac{v_f-v_i}{a}$

Sustituimos los valores de cada vehículo

$t_a=\frac{22.34-0}{4.022}=5.553s\\\\t_b=\frac{8.983-0}{5.81}=1.538s$

Ahora sería útil saber la posición de la bicicleta y del automóvil cuando llegan a su velocidad de crucero con la ecuación de posición final.

$x_{fa}=\frac{1}{2}(4.022)(5.553)^2=62.01m\\\\x_{fb}=\frac{1}{2}(5.81)(1.5383)^2=6.87m\\$

Hay que tener en cuenta dos afirmaciones muy importantes, la primera ya se mencionó, y es que el carro no puede rebasar a la bicicleta, si no hasta que esta llegue deje de acelerar, en la anterior ecuación podemos ver que deja de acelerar al segundo 1.53, pues ahí permanece en velocidad constante o sea aceleración 0, la segunda es que el carro ya rebasó a la bicicleta cuando este llega a su velocidad de crucero, para confirmar esto se debe usar la formula de movimiento con velocidad constante y podrás confirmar que al segundo 5.553 la bicicleta esta varios metros atrás del automóvil, con esto se puede llegar a la conclusión que ambos vehículos se encuentran en algún punto después de 6.8742m y antes de 61.67m al igual antes del tiempo 5.55s y después de 1.53s

Debido a que la bicicleta deja de acelerar en en el tiempo 1.53s, a partir de allí se debe usar la formula de MRU

$x_f=x_i+vt$

Para el automóvil seguimos usando $x_f=\frac{1}{2}at^2$ puesto que lo que nos interesa: el segundo en el que se encuentran ambos en ese instante, para ese entonces el auto sigue acelerando.

Entonces se deduce que ambos deben estar en el mismo tiempo y espacio, así se observa que debemos igualar las dos ultimas ecuaciones.

Pero antes debemos establecer ciertos parámetros y es que el tiempo de la ecuación $x_f=x_i+vt$ no es el mismo que el de la ecuación del movimiento del automóvil $x_f=\frac{1}{2}at^2$ , porque la bici antes estuvo moviéndose a aceleración constante, entonces debemos agregarle el tiempo que se movió con aceleración constante tiempo inicial $t_i=1.53s$ y quedaría así:

$x_f=x_i+v(t+t_i)=xi+vt+vt_i$

Ahora sí igualamos ambas ecuaciones

$x_i+vt+vt_i=\frac{1}{2}at^2$

En teoría el tiempo $t$ es el instante en que se encuentran en la misma posición ambos vehículos, así entes de ese tiempo la bicicleta estuvo delante del automóvil.

Despejamos $t$ en la ecuación...

$\frac{1}{2}at^2-vt-xi-vt_i=0$

$2.01t^2-8.93t+6.875=0$

Nos queda una ecuación cuadrática que la podemos resolver por la formula general:

$t=\frac{-(-8.938)\pm\sqrt{(-8.938)^2-4(2.01)(6.87)} }{2(2.01)}\\\\t=3.45s$

Debemos deducir que cuando la distancia entre el carro y la bici es mayor; es en el instante en el que la bicicleta deja de acelerar (tratar de razonar esto)

Para encontrar la distancia máxima debemos encontrar la posición de la bicicleta cuando deja de acelerar, es decir en el tiempo $t=1.53s$ la cual ya habíamos obtenido $x_f=6.87m$ y la posición del carro en ese mismo instante: