Volumen de un silo: Un silo para granos está formado por una sección principal cilíndrica y un techo semiesférico. Si el volumen total del silo (incluyendo la parte dentro de la seccióndel techo) es de 15,000 pies3 y la parte cilíndrica es de (30 pies + a) de altura, ¿cuál es el radio del silo, redondeado al milésimo de pie más cercano?
Respuestas a la pregunta
Respuesta: El área superficial del silo se minimiza cuando el radio es igual a .
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área superficial del sólido. Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la semiesfera; la función objetivo viene dada por la suma de las áreas del contorno, la cara inferior circular y la cara superior semiesférica:
Lo conveniente es que el área esté expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
es un mínimo de la función A.
Explicación paso a paso:
Respuesta:
Espero te sirva
Explicación paso a paso:
