Question

vertice sobre la recta 2y-3x=0

Answer 1

Como el eje de la parábola es paralelo al eje X, entonces su ecuación es: 
(Y - Yo)² = 4p·(X - Xo) 
...siendo 
(Xo, Yo) = el vértice de la parábola 
p = distancia entre vértice y foco/directriz 

Como el vértice tiene que estar en la recta, entonces las coordenadas del vértice tienen que cumplir la ecuación de la recta: 
2·Yo - 3·Xo = 0 
...de donde despejamos Xo 
Xo = (2/3)·Yo 

que sustituido en la ecuación de la parábola, la deja como una ecuación con sólo dos parámetros desconocidos ("p" y "Yo"): 
(Y - Yo)² = 4p·(X - (2/3)·Yo) 
que colocamos de esta forma 
(4/3)·p = (Y - Yo)² / (3·X - 2·Yo) 

Ahora nos dan dos puntos de la parábola, y por lo tanto verifican la ecuación de la parábola: 
A(3,5) ==> (4/3)·p = (5 - Yo)² / (3·3 - 2·Yo) 
B(6,-1) ==> (4/3)·p = (-1 - Yo)² / (3·6 - 2·Yo) 
...lo que nos da un sistema de dos incógnitas que resolvemos por igualación 
(5 - Yo)² / (9 - 2·Yo) = (-1 - Yo)² / (18 - 2·Yo) 
(5 - Yo)²·(18 - 2·Yo) = (-1 - Yo)²·(9 - 2·Yo) 
(25 + Yo² - 10·Yo)·(18 - 2·Yo) = (1 + Yo² + 2·Yo)·(9 - 2·Yo) 
- 2·Yo³ + 38·Yo² - 230·Yo + 450 = - 2Yo³ + 5·Yo² + 16·Yo + 9 
33·Yo² - 246·Yo + 441 = 0 
...y sus soluciones son 
Yo = 3 ; Yo = 49/11 
Xo = 2 ; Xo = 98/33 
p = 1 ; p = 27/11 

Así que las dos posibles parábolas son 

(y - 3)² = 4·(x - 2) 

(y - (49/11))² = (108/11)·(x - (98/33)) 


Nota (otro método): 
se podría partir de la ecuación explícita de la parábola 
x = ay² + by + c 
cuyo vértice es el punto de coordenadas 
Yv = - b / (2a) 
Xv = (4ac - b²) / (4a) 
y que cumple la ecuación de la recta 
2·[- b / (2a)] - 3·[(4ac - b²) / (4a)] = 0 
si además se sustituyen los puntos A y B en la ecuación explícita, obtenemos dos ecuaciones más, que con la anterior hacen un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, a, b y c. 
Pero el sistema se complica aún más que el puesto arriba.