Question

Verifique si existe los, limites


Ayuda xf

Answer 1

Respuesta:

SI LAS FUNCIONES SON SEPARADAS:

Ambos limites existen:

$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8 }{x^{2} -4}=3$

$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3 }{x-2}=\frac{1}{2}$

SI LA FUNCION ES COMPUESTA

El limite no existe dado que por izquierda y por derecha se converge a distintos valores.

Explicación paso a paso:

No se si te refieras si existe el limite de la función compuesta o si existe el limite de cada función por separado e infiero que el limite es cuando x tiende a 2. Por lo que te daré las dos respuestas.

SI LAS FUNCIONES SON SEPARADAS

Cuando x se evalúa en 2 la función compuesta crea una indeterminación al dividir 0 entre 0 por lo que hay que resolver un limite para ver si a x=2 corresponde una y (es decir si existe el limite).

1ra f(x):

Dominio de f para todo x pertenece a R pero dice que esta limitado x>2 lo que no tiene sentido porque la indeterminación se genera en x=2 (la cual no pertenece al dominio, por lo que también voy a ignorar esto)

Evaluamos:

$\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8 }{x^{2} -4}=\frac{2^{3} -8}{2^{2}-4 }=\frac{8-8}{4-4}=\frac{0}{0} =indeterminacion$

Hay que resolver el limite sabiendo como desarrollar diferencias de cuadrados y al cubos:

Recordar:$a^{2} +b^{2} =(a+b)(a-b)$

$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8 }{x^{2} -4}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-2^{3} }{x^{2} -2^{2} }\\\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+2^{2}) }{(x+2)(x-2)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{(x^{2}+2x+2^{2}) }{(x+2)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{(x^{2}+2x+2^{2}) }{(x+2)}=\frac{(2^{2}+2(2)+4) }{(2+2)}=\frac{4+4+4 }{4}=\frac{12}{4}=3 \\\\\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8 }{x^{2} -4}=3$

El limite de la función cuando x tiende a 2 existe y es 3

(también se puede resolver dividiendo el polinomio y nos saldría el factor común)

2da f(x):

Dominio de f para todo x que pertenece a x>-1

Evaluamos

$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3 }{x-2}=\frac{\sqrt{3(2)+3}-3 }{2-2}= \frac{\sqrt{6+3}-3 }{0}=\frac{\sqrt{9}-3 }{0}=\frac{3-3 }{0}= \frac{0}{0}=indeterminacion$

Resolvemos el limite Racionalizando:

Aquí esta mas difícil, pero si elevamos al cuadrado una raíz la cancelamos entonces hay que intentar algo por ahí.

Recordar: la diferencia de cuadrados y que 1 puede ser expresado como una división de dos términos iguales

$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3 }{x-2}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3 }{x-2}*\frac{\sqrt{3x+3}+3}{\sqrt{3x+3}+3}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{3x+3}-3) (\sqrt{3x+3}+3)}{x-2(\sqrt{3x+3}+3)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{3x+3})^{2} -(3)^{2} }{x-2(\sqrt{3x+3}+3)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{3x+3 -9 }{x-2(\sqrt{3x+3}+3)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{3x-6 }{x-2(\sqrt{3x+3}+3)}\\\\\lim_{x \to 2}\frac{3(x-2) }{x-2(\sqrt{3x+3}+3)}$

$\lim_{x \to 2}\frac{3 }{\sqrt{3x+3}+3}=\frac{3}{\sqrt{3(2)+3}+3 }=\frac{3}{\sqrt{6+3}+3}=\frac{3}{\sqrt{9}+3}=\frac{3}{3+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5$

$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3 }{x-2}=\frac{1}{2}$

SI LA FUNCIÓN ES COMPUESTA:

El limite NO EXISTE cuando x tiende a 2  dado que por izquierda y por derecha se converge a distintos valores. Por lo que si los limites laterales son distintos el limite no existe.