Question

Verificar si la aplicación t: R3 → R2 dada por t(x, y, z) = (3x+y-z,
x – y+2z ) es una Transformación lineal.

Answer 1

Respuesta:

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Explicación paso a paso:

$t:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $t(x, y, z)=(3x+y-z, x-y+2z)$ es transformación lineal. En efecto, sea $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y $(x, y, z), (u, v, w)\in \mathbb{R}^3$ se tiene:

$t(\lambda (x, y, z)+\mu(u, v, w) )=t(\lambda x+\mu u, \lambda y+\mu v, \lambda z+\mu w)$

             $=(3(\lambda x+\mu u)+\lambda y+\mu v-(\lambda z+\mu w), \lambda x+\mu u-(\lambda y+\mu v)+2(\lambda z+\mu w))$

$=(3\lambda x+3\mu u+\lambda y+\mu v-\lambda z-\mu w, \lambda x+\mu u-\lambda y-\mu v+2\lambda z+2\mu w)$

$=(3\lambda x+\lambda y-\lambda z+3\mu u+\mu v-\mu w, \lambda x-\lambda y+2\lambda z+\mu u-\mu v+2\mu w)$

$=(3\lambda x+\lambda y-\lambda z, \lambda x-\lambda y+2\lambda z)+(3\mu u+\mu v-\mu w, \mu u-\mu v+2\mu w)$

$=\lambda(3x+y-z, x-y+2z)+\mu(3u+v-w, u-v+2w)$

$=\lambda t(x, y, z)+\mu t(u, v, w)$