Question

Verificar si (1, 2) es un extremo relativo de la función $f(x)= x^3-2x^2+x+2$ Si es un extremo relativo, determinar si es máximo o mínimo.

Answer 1

Respuesta:

1/3 es un máximo y 1 es un mínimo

Explicación paso a paso:

Primero tenemos que hallar los puntos críticos de la función, que son aquellos en los que la primer derivada se hace cero o no existe. Esos son los únicos posibles máximos o mínimos relativos.

Derivo la función: Me queda 3x^2 -2*2x +1 es decir 3x^2 - 4x + 1

Ahora la igualo a cero (vemos que es un polinomio y por lo tanto una función continua la derivada existe para todos los valores de x)

Usamos la fórmula de la resolvente

x= 4+-raízde(16-12) todo sobre 2*3 es decir x = 4+-2 todo sobre 6

x = 1/3 o x = 1

Ahora debemos evaluar a la derivada, para ver si crece o decrece en los intervalos (-∞,1/3) (1/3,1) y (1,+∞)

Elijo un número en el intervalo (-∞,1/3), por ejemplo el cero. 3*0^2 - 4*0 + 1 = 0+0+1 = 1. Como es un número positivo quiere decir que la función crece en todo el intervalo.

Elijo un número en el intervalo (1/3,1) por ejemplo el 2/3.

3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 1 = 3*(4/9) -8/3 +1 = 4/3 - 8/3 +1 = -4/3 +1 = -1/3.

Como es negativo la función decrece en el intervalo.

Elijo un número en el intervalo (1,+∞), por ejemplo el 2. Queda 3*2^2 -4*2+1 = 3*4-8+1 = 12 -7 =5. Como es un número positivo la función crece en todo el intervalo.

Luego la función crece de -∞ a 1/3, decrece de 1/3 a 1, y crece de nuevo desde 1 hasta +∞. Luego 1/3 es un máximo y 1 es un mínimo. (Ambos son extremos locales ya que la función no alcanza un máximo ni un mínimo absoluto, empieza creciendo desde el menos infinito baja un poco y luego vuelve a subir y crece hasta más infinito).