Question

verifica si las siguientes funciones son inyectivas,utilizando el analisis algebraico de a.-g(x)=-4x-1/2b.-f(x)=-x2+7c.-h(x)2raizdex+3d.-f(x)=-x3+2xe.-f(x)=x3/3+3

Answer 1

Introduzcamos el marco teórico para resolver este problema; para demostrar inyectividad se propone una hipótesis:

$g(x_1)=g(x_2)$

Entonces la función será inyectiva si demostramos que necesariamente $x_1=x_2$ y no hay más soluciones, de forma que pasamos a resolver los problemas:

$a)\:\:\:\:g(x)=-4x-\frac{1}{2}$

Luego se propone $g(x_1)=g(x_2)$

$-4x_1-\frac{1}{2}=-4x_2-\frac{1}{2}$

Cancelamos los $\frac{1}{2}$

$-4x_1=-4x_2$

$x_1=x_2$

Como queríamos, por lo tanto la función $g(x)$ es inyectiva.

$b)\:\:\:\:f(x)=-x^2+7$

$f(x_1)=f(x_2)$

$-x_1^2+7=-x_2^2+7$

$-x_1^2=-x_2^2$

$x_1^2=x_2^2$

Al cancelar los cuadrados, nos quedan los módulos iguales.

$|x_1|=|x_2|$

Pero esto significa que hay dos soluciones posibles, por lo tanto la función no es inyectiva.

$c)\:\:\:\:h(x)=2\sqrt{x}+3$

$h(x_1)=h(x_2)$

$2\sqrt{x_1}+3=2\sqrt{x_2}+3$

$2\sqrt{x_1}=2\sqrt{x_2}$

$\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}$

Como el dominio de la función es $\mathbb{R}_0^+$, queda:

$x_1=x_2$

Por lo tanto la función es inyectiva.

$d)\:\:\:\:f(x)=-x^3+2x$

$f(x_1)=f(x_2)$

$-x_1^3+2x_1=-x_2^3+2x_2$

$x_1(-x_1^2+2)=x_2(-x_2^2+2)$

Pero veamos que las raíces de cualquiera de los dos polinomios son:

$0\\ \\ \sqrt{2}\\ \\ -\sqrt{2}$

Por lo tanto hay varios $x$ que arrojan $f(x)=0$, la función no es inyectiva.

$e)\:\:\:\: f(x)=\frac{x^3}{3}+3$

$f(x_1)=f(x_2)$

$\frac{x_1^3}{3}+3=\frac{x_2^3}{3}+3$

$\frac{x_1^3}{3}=\frac{x_2^3}{3}$

$x_1^3=x_2^3$

Como las raíces cúbicas tienen solución real única, entonces:

$x_1=x_2$

Por lo tanto esta función es inyectiva.