Varios Gorriones se posan en unos postes. Si sobre cada postre hay un solo gorrión, quedan 3 gorriones volando; y SI sobre cada poste hay 3 gorriones quedan 3 postes libres. ¿ Cuántos postes hay?
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Solución: 6 postes
Llamemos "p" al número de postes.
1) Según este punto, el número de gorriones es "p+n", (ya que hay "p" gorriones posados, uno en cada poste, más "n" volando).
2) Si en cada poste se ponen "n" gorriones (*), entonces los "p+n" gorriones que hay en total ocuparán
( p + n ) / n = postes ocupados
...y como quedan n vacíos
n = postes vacíos
...si ahora sumamos los postes ocupados más los postes vacíos, tenemos que obtener los "p" postes que hay en total, es decir
[( p + n ) / n ] + n = p
...y de aquí despejamos "p"
p + n + n² = p·n
n² + n = p·n - p
n² + n = p·(n - 1)
p = (n² + n) / (n - 1)
esto nos da el número de postes en función de los "n" gorriones que quedan volando al principio.
Pero tanto el número de postes como el de gorriones tiene que ser un número natural, así que hagamos la división que hemos obtenido al final para ver "si da exacta"
. n² + n |_ n_-_1__
- n² + n . . . n + 2
------------
. . . .2n
. . .- 2n + 2
----------------
. . . . . . . 2
El resto de la división es 2.
Eso quiere decir que para que la división sea exacta, el divisor "n-1" tiene que ser uno de los divisores del 2, para que el número de postes de exacto.
Los divisores del 2 son 1 y 2, así que hay dos posibilidades:
n - 1 = 1 ==> n = 2
n - 1 = 2 ==> n = 3
la "n" tiene que ser 2 o 3, y en ambos casos sale el valor de "p = 6":
n = 2 ==> p = (n² + n) / (n - 1) = (4+2)/(2-1) = 6/1 = 6
n = 3 ==> p = (n² + n) / (n - 1) = (9+3)/(3-1) = 12/2 = 6
(*) Nota: creo que la confusión viene por aquí. En el enunciado pone "si sobre cada uno de los postes se ponen n gorriones", y eso da la idea de que deberían estar ocupados todos los postes, en cuyo caso no podrían sobrar postes vacíos, y el planteamiento sería imposible. Así que la frase debería ser "si en cada poste en el que se posan gorriones, se ponen n gorriones...".
Llamemos "p" al número de postes.
1) Según este punto, el número de gorriones es "p+n", (ya que hay "p" gorriones posados, uno en cada poste, más "n" volando).
2) Si en cada poste se ponen "n" gorriones (*), entonces los "p+n" gorriones que hay en total ocuparán
( p + n ) / n = postes ocupados
...y como quedan n vacíos
n = postes vacíos
...si ahora sumamos los postes ocupados más los postes vacíos, tenemos que obtener los "p" postes que hay en total, es decir
[( p + n ) / n ] + n = p
...y de aquí despejamos "p"
p + n + n² = p·n
n² + n = p·n - p
n² + n = p·(n - 1)
p = (n² + n) / (n - 1)
esto nos da el número de postes en función de los "n" gorriones que quedan volando al principio.
Pero tanto el número de postes como el de gorriones tiene que ser un número natural, así que hagamos la división que hemos obtenido al final para ver "si da exacta"
. n² + n |_ n_-_1__
- n² + n . . . n + 2
------------
. . . .2n
. . .- 2n + 2
----------------
. . . . . . . 2
El resto de la división es 2.
Eso quiere decir que para que la división sea exacta, el divisor "n-1" tiene que ser uno de los divisores del 2, para que el número de postes de exacto.
Los divisores del 2 son 1 y 2, así que hay dos posibilidades:
n - 1 = 1 ==> n = 2
n - 1 = 2 ==> n = 3
la "n" tiene que ser 2 o 3, y en ambos casos sale el valor de "p = 6":
n = 2 ==> p = (n² + n) / (n - 1) = (4+2)/(2-1) = 6/1 = 6
n = 3 ==> p = (n² + n) / (n - 1) = (9+3)/(3-1) = 12/2 = 6
(*) Nota: creo que la confusión viene por aquí. En el enunciado pone "si sobre cada uno de los postes se ponen n gorriones", y eso da la idea de que deberían estar ocupados todos los postes, en cuyo caso no podrían sobrar postes vacíos, y el planteamiento sería imposible. Así que la frase debería ser "si en cada poste en el que se posan gorriones, se ponen n gorriones...".
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