Question

Utilizando el método de cambio de variable calcular la integral que se indica. ∫▒〖(x^2+2)√(x^3+6x) dx〗

Answer 1

Solución.

La integral es:

$\int{(x^{2}+2)\sqrt{x^{3}+6}}\,dx$

Luego haciendo el cambio de variable con $u=x^{3}+6x$ se obtiene:


$u=x^{3}+6x\\du=3x^{2}+6\,dx\\du=3(x^{2}+2)\,dx\\\frac{du}{3}=x^{2}+2\,dx$

En consecuencia:

$\int{(x^{2}+2)\sqrt{x^{3}+6x}}\,dx=\frac{1}{3}\int{\sqrt{u}\,du}\\\frac{1}{3}\int{u^{1/2}\,du}=\frac{1}{3}\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{9}u^{3/2}\\\textup{Deshaciendo el cambio de variable nos queda:}\\\frac{2}{9}(x^{3}+6x)^{3/2}+K$

Saludos.

Answer 2

Utilizando el método de cambio de variable se obtiene:

$\bold{\int{(x^2~+~2)~\sqrt{x^3~+~6x}}\,dx~=~\dfrac{2}{9}\cdot(x^3~+~6x)^{\frac{3}{2}}~+~C }$

¿Qué es el método de cambio de variable?

El método de cambio de variable es una aplicación de la regla de la cadena de derivación que permite simplificar un integrando si en él se encuentra una función y su derivada.

Sean  f(x)  y  g(x)  tal que      f’(x)  =  g(x),       se define una nueva variable  u  =  f(x),      tal que       du  =  g(x)dx

$\bold{ \int {F(f(x))\cdot g(x)}\,dx~=~\int {F(u)}\,du }$

¿Cómo resolver la integral dada?

$\bold{\int{(x^2~+~2)~\sqrt{x^3~+~6x}}\,dx}$

Llamamos       u  =  x³  +  6x            du  =  (3x²  +  6) dx  =  3(x²  +  2) dx  

$\bold{\int{(x^2~+~2)~\sqrt{x^3~+~6x}}\,dx~=~\int{\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{u}}}\,du \qquad \Rightarrow}$

$\bold{\int{(x^2~+~2)~\sqrt{x^3~+~6x}}\,dx~=~\int{\dfrac{1}{3}\cdot(u)^{\frac{1}{2}}}\,du ~=~\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot(u)^{\frac{3}{2}}~+~C}$

Finalmente se “regresa” el cambio de variable:

$\bold{\int{(x^2~+~2)~\sqrt{x^3~+~6x}}\,dx~=~\dfrac{2}{9}\cdot(x^3~+~6x)^{\frac{3}{2}}~+~C }$

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