Question

Utiliza las relaciones fundamentales para demostrar las siguientes igualdades trigonométricas:
sen²a+sen²a×tan²a=tan²a ​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

      Identidades trigonométricas

Antes debemos recordar unas definiciones y un Teorema que nos serán de mucha utilidad

Teorema:

$Sec^{2}a= 1 + Tan^{2} a$

Definición de Tangente (Tan):

$Tan(a)= \frac{Sen(a)}{Cos(a)}$

Definición de Secante (Sec)

$Sec(a)=\frac{1}{Cos(a)}$  

Vamos al ejercicio

$Sen^{2} (a) + Sen^{2} (a) * Tan^{2} (a)= Tan^{2} (a)$

Vamos por el lado izquierdo. Podemos factorizar Sen² (a)

$Sen^{2} (a)*(1+Tan^{2} (a))= T an^{2} (a)$

Aplicamos el teorema ya mencionado

$Sen^{2} (a) *(Sec^{2} (a))= Tan^{2} (a)$

Por definición de Secante:

$Sen^{2} (a) *(\frac{1}{Cos^{2}(a) }) = Tan^{2} (a)$

$\frac{Sen^{2}(a) }{Cos^{2}(a) } = Tan^{2} (a)$

Sabemos que Tan (a) = Sen (a) / Cos (a).  Si lo elevamos al cuadrado nos queda lo que imaginamos:    Tan²(a)= Sen²(a) / Cos²(a)

$Tan^{2} (a)= Tan^{2} (a)$    Q.E.D

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Saludoss