Question

Utiliza la definición de limite para resolver la siguiente derivada: f (x) =
$\sqrt{x }$

Answer 1

Hola,

La definición de derivada se denota como:

$f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Entonces, la derivada de la función $f (x)= \sqrt{x}$ es la siguiente:

$f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{x + h} - \sqrt{x} }{h}$

- Realizamos la racionalización del numerador:

$f'(x) = lim_{h \to 0} = \frac{ \sqrt{x + h} - \sqrt{x} }{h} \times \frac{ \sqrt{x + h} + \sqrt{x} }{ \sqrt{x + h} + \sqrt{x} } \\ f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{ {( \sqrt{x + h}) }^{2} - {( \sqrt{x} )}^{2} }{h( \sqrt{x + h)} + \sqrt{x} ) } \\ f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )} \\ f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{h }{h( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )}$

- Simplificamos la variable h:

$f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x} }$

- Evaluamos la expresión cuando h = 0:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x} } \\ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x } + \sqrt{x} } \\ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$
RESPUESTA: La derivada de la función es $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$


Espero que te sirva, Saludos.