Question

Utiliza el método de fracciones parciales para resolver las siguientes integrales
∫$\frac{5 x^{2} + 20x + 6}{ x^{3}+2 x^{2} +x } dx$

a) Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:___________________
b) Escribe la función como la suma de fracciones parciales.
c) Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc. y resuelve la integral.

Nota: si el grado de los polinomios P y Q son iguales o se cumple que grado P > grado Q, entonces de debe efectuar la división de polinomio y después utilizar fracciones parciales.

Agradeceré mucho a quien me pueda ayudar. 

Answer 1

Es una fracción propia.

Factoreamos el denominador: x³ + 2 x² + x = x (x² + 2 x + 1) = x (x + 1)²

Al haber factores repetidos, la descomposición es de la siguiente forma:

A/x + (B x + C) / (x + 1)² ; resulta:

[A (x + 1)² + x (B x + C) = 2 x² + 20 x + 6

Identificamos polinomios

Factores de x²: A + B = 2
Factores de x: 2 A + C = 20
Factor independiente: A = 6

Resolvemos: A = 6; B = - 4; C = 8

6/x; su integral es 6 Ln(x)

- 4 x / (x + 1)² se resuelve con una sustitución u = x + 1

La integral resulta: - 4 Ln(x + 1)

8 / (x + 1)²; su integral vale - 12 / (x + 1)

El resultado es:

6 Ln(x) - 4 Ln(x + 1) - 12 / (x + 1) + constante

Saludos Herminio