Question

Utilice el hecho de que la integral de línea es independiente de trayectoria en todo el plano xyxy para calcular el valor de la integral ∫(1,−1)(0,0)(2xey) dx+(x2ey) dy .

Answer 1

Como es independiente de la trayectoria, entonces usamos la trayectoria más sencilla: un segmento cuyo origen sea el punto (1,-1) y el extremo sea (0,0). su ecuación vectorial es como sigue

(x,y) = (0,0) + [(0,0)-(1,-1)]t, donde 0 ≤ t ≤ 1
(x,y) = (-1,1)t

En forma paramétrica:

x = -t
y= t

La integral de línea

$\displaystyle \int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2(-t)e^{t}~d(-t)+(-t)^2e^t~dt\\ \\ \\ \int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2te^{t}~dt+t^2e^t~dt\\ \\ \\ \int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}(t^2+2t)e^t~dt\\ \\ \\ \int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\left.t^2e^t\right|_{0}^1\\ \\ \\ \boxed{\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=e}$