Question

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de y'=〖 y〗^2-x con la condición inicial y = 1 en x = 0.

Answer 1

La solución en serie de Taylor es: $f(x)=1 +x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{4*x^{3} }{3!}+\frac{14*x^{4} }{4!}+\frac{66*x^{5} }{5!}+...$

El teorema de taylor es un teorema que permite encontrar un aproximación polinómica a una función dicha aproximación esta dada por:

$f(x)= \sum \frac{f^{k} (x)(x-a)}{k!} k = 0,...,n$

Tenemos que:

y'(x) = y² -x

y(0) = 1

y'(0) = y(0)²-0 = 1-0 = 1

Calculamos el resto de las derivadas implicitas hasta n= 5

y''(x) = 2yy'-1 ⇒y''(0) = 2*y(0)*y'(0)-1 = 2*1*1-1 = 2-1 = 1

y'''(x) = 2(y'y'+y''y) ⇒y'''(0) = 2*(1*1+1*1) = 2*2= 4

y⁴(x) =2*(2y'y''+y'''y+y'y'') = 2*(3y'y''+y'''y) ⇒y⁴(0) = 2*(3*1*1+4*1) = 2*(7) = 14

y⁵(x) =2*(3*(y''y''+y'''y')+y⁴y+y'y''') ⇒y⁵(0) = 2*(3*(1*1+4*1)+14*1+1*4) =2*(15+14+4)= 66

Por lo tanto la solución en serie sera:

$f(x)=\frac{1*(x-0)^{0} }{0!} +\frac{1*(x-0)^{1} }{1!}+\frac{1*(x-0)^{2}}{2!}+\frac{4*(x-0)^{3} }{3!}+\frac{14*(x-0)^{4} }{4!}+\frac{66*(x-0)^{5} }{5!}+...$

$f(x)=1 +x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{4*x^{3} }{3!}+\frac{14*x^{4} }{4!}+\frac{66*x^{5} }{5!}+...$

La solución en serie es entonces:

$f(x)=1 +x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{4*x^{3} }{3!}+\frac{14*x^{4} }{4!}+\frac{66*x^{5} }{5!}+...$