Question

Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar: {[(A-B)∩B]∩[(A∪B)∩C]}

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Relaciones y operaciones entre conjuntos (leyes del álgebra de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás algunas relaciones asociadas a las operaciones entre conjuntos (unión, intersección, complemento y diferencia).

Complemento de un conjunto

Vamos a iniciar esta lección estudiando la operación denominada complemento de un conjunto.

Ten en cuenta que esta operación tiene una notación muy particular. Por ejemplo, para denotar el complemento del conjunto AAA se escribirá A^cA  

c

A, start superscript, c, end superscript.

¿Qué quiere decir A^cA  

c

A, start superscript, c, end superscript?

El complemento de un conjunto AAA, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U)(U)left parenthesis, U, right parenthesis, pero no al conjunto AAA.

[¿Qué es el conjunto universal?]

Ahora, podemos utilizar símbolos para definir el complemento de AAA.

A^c=\{x / x \in U \;\text{y}\; x\neq A\}A  

c

={x/x∈Uyx  



​  

=A}A, start superscript, c, end superscript, equals, left brace, x, slash, x, \in, U, start text, y, end text, x, does not equal, A, right brace

También, se puede entender A^cA  

c

A, start superscript, c, end superscript como:

A^c=U-AA  

c

=U−AA, start superscript, c, end superscript, equals, U, minus, A

Veamos algunos ejemplos

Para los siguientes conjuntos, considera como conjunto universal a U=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8{,}9{,}10\}U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U, equals, left brace, 1, comma, 2, comma, 3, comma, 4, comma, 5, comma, 6, comma, 7, comma, 8, comma, 9, comma, 10, right brace.

Ejemplo 1

Si A=\{2{,}4{,}6{,}8{,}10\}A={2,4,6,8,10}A, equals, left brace, 2, comma, 4, comma, 6, comma, 8, comma, 10, right brace se tiene que A^c=\{1{,}3{,}5{,}7{,}9\}A  

c

={1,3,5,7,9}A, start superscript, c, end superscript, equals, left brace, 1, comma, 3, comma, 5, comma, 7, comma, 9, right brace.

Ejemplo 2

Si B=\{1{,}3{,}5\}B={1,3,5}B, equals, left brace, 1, comma, 3, comma, 5, right brace se tiene que B^c=\{2{,}4{,}6{,}7{,}8{,}9{,}10\}B  

c

={2,4,6,7,8,9,10}B, start superscript, c, end superscript, equals, left brace, 2, comma, 4, comma, 6, comma, 7, comma, 8, comma, 9, comma, 10, right brace.

Ejemplo 3

Si C=\{4{,}6{,}7{,}8{,}9{,}10\}C={4,6,7,8,9,10}C, equals, left brace, 4, comma, 6, comma, 7, comma, 8, comma, 9, comma, 10, right brace se tiene que C^c=\{1{,}2{,}3{,}5\}C  

c

={1,2,3,5}C, start superscript, c, end superscript, equals, left brace, 1, comma, 2, comma, 3, comma, 5, right brace.

Diferencia de conjuntos

Vamos a continuar esta lección recordando la operación denominada Diferencia de conjuntos.

La diferencia entre dos conjuntos, por ejemplo, AAA y BBB, se denota así: A-BA−BA, minus, B.

¿Qué quiere decir A-BA−BA, minus, B?

Dados dos conjuntos AAA y BBB, se entiende al conjunto diferencia, denotado como A-BA−BA, minus, B, al conjunto de todos los elementos que están en AAA y no están en BBB.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Sean los conjuntos:

A=\{1{,}3{,}5{,}7\}A={1,3,5,7}A, equals, left brace, 1, comma, 3, comma, 5, comma, 7, right brace

B=\{2{,}3{,}4{,}5\}B={2,3,4,5}B, equals, left brace, 2, comma, 3, comma, 4, comma, 5, right brace

Se observa que los elementos que están en AAA, pero no están en BBB son 111 y 777. Por tanto, el conjunto diferencia es

A-B=\{1{,}7\}A−B={1,7}

Explicación paso a paso: