Question

Usando la definición $f'(x)=log_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} h\neq0$ , determine la derivada de la función $f(x) = 1 - 4x^2$.

Answer 1

Se sabe que la derivada de una función está definida como:

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }$

Tenemos $f(x) = 1-4x^2$ por tanto, evaluando en la definición:

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1-4(x+h)^2-(1-4x^2)}{h} }$

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\not{1}-4(x^2+2xh+h^2)-\not{1}+4x^2}{h} }$

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4(x^2+2xh+h^2)+4x^2}{h} }$

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4x^2-8xh-4h^2+4x^2}{h} }$

${\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4h^2-8xh}{h} }$

${\displaystyle f'(x) = -\lim_{h \to 0} \dfrac{4h^2}{h}- \lim_{h \to 0} \dfrac{8xh}{h}$

${\displaystyle f'(x) = -\lim_{h \to 0} 4h- \lim_{h \to 0} 8x$

${\displaystyle f'(x) =-4(0)- 8x }$

$\boxed{\displaystyle f'(x) = - 8x }$