Question

Usando el método de limites laterales, calcule los siguientes límites:

Answer 1

En el punto 1 el límite de (a) no existe al ser los límites laterales diferentes (10 para valores debajo de x  y 5 para valores por encima), mientras que el de (b) es 3.

En el punto 2, los límites de a y de b son 0 y 1/3 respectivamente.

Explicación:

Para hallar los límites de las funciones definidas por tramos aplicamos los límites laterales, esto es, para calcular el límite en un punto x0 del dominio evaluamos la función en un entorno de ese punto para valores inferiores, teniendo el límite lateral inferior:

$\lim_{x \to x_0^{-}} f(x)$

Y para valores superiores:

$\lim_{x \to x_0^{+}} f(x)$

a) Para valores por debajo de x=3 la función recorre la primera rama por lo que el límite lateral inferior es:

$\lim_{x \to 3^{-}} f(x)= \lim_{x \to 3} (x^2+1)=10$

Y la función para valores por encima de x=3 recorrerá la segunda rama:

$\lim_{x \to 3^{+}} f(x)= \lim_{x \to 3} (x+2)=5$

Concluyendo que en x=3 el límite no existe y la función presenta una discontinuidad de salto finito.

b) Para valores del dominio menores a x=1 tenemos:

$\lim_{x \to 1^{-}} f(x)= \lim_{x \to 1} (2x+1)=3$

Y para valores mayores a x=1:

$\lim_{x \to 1^{+}} f(x)= \lim_{x \to 1} (3x)=3$

2) Si aplicamos el cambio de variable al límite, pasamos a hallar el límite para una función equivalente con la variable reemplazada, por ejemplo:

a) $u=\sqrt{x}\\x=64=>u=8\\\\ \lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{64}-8}{\sqrt{64}-4}=\lim_{u \to 8} \frac{u-8}{u-4} =0$

b) En este caso tenemos que aplicar L'hoppital para salvar la indeterminación de tipo 0/0, consiste en derivar por separado numerador y denominador y volver a analizar el límite.

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-2x}= \lim_{x \to 2} \frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}}{2x-2}=\lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^2+5}(2x-2)}$

Vemos que tanto en la función como nos la presentan como la que creamos al aplicar L'hoppital no hay cambio de variable que permita simplificarla, el límite es:

$\lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^2+5}(2x-2)}=\frac{1}{3}$

Answer 2

hola

tu ya terminaste calculo o filosofía? para que por favor me ayudes uwu te lo agradecería mucho