Question

. Usa la información en cada inciso para determinar la ecuación de la parábola.

a) Vértice en V(-2,-3) y foco en F(-2,-1)

b) Vértice en V(-1,-3) y foco en F(2,-3)

c) Vértice en V(3,1) y foco en F(3,0)

d) Foco en F(3,2) y directriz x=-1

e) Foco en F(-4,-3) y directriz x=-7

f) Vértice en V(-3,4) y extremos del lado recto L(2,-6) y R(2,14)
.​

Answer 1

La ecuación de la parábola que cumple con cada condición es:

a) Cuyo vértice es (-2,-3) y foco (-2, -1) es:

   (x + 2)² = 8(y + 3)

b) Cuyo vértice es (-1,-3) y foco (2, -3) es:

   (y + 3)² = 12(x + 1)

c) Cuyo vértice es (3, 1) y foco (3, 0) es:

   (x - 3)² = -4(y - 1)

d) Cuyo foco es (3, 2) y su directriz x = -1 es:

    (y - 2)² = 8(x - 1)

e) Cuyo foco es (-4, -3) y su directriz x = -7 es:

   (y + 3)² = 6(x + 11/2)

f) Cuyo vértice es (-3,4) y extremos del lado recto L(2,-6) y R(2,14) es:

(y - 4)² = 20(x + 3)

¿Qué es una parábola?

Es un lugar geométrico equidistante de una recta directriz. Además, está elevado al exponente de grado 2 y se caracteriza por tener los siguientes elementos:

• Vértice: punto de unión de la parábola y el eje focal.
• Foco: es el punto fijo sobre el eje de simetría.
• Directriz: recta equidistante de cualquier punto de la parábola.
• Lado recto: es la resta que tiene una distancia 4p y pasa por el foco.
• Ejes: es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco.

La ecuación de una parábola que:

Abre hacia arriba

(x - h)² = 4p(y - k)

Siendo;

• vértice (h, k)
• Foco: (h, k+p)
• Directriz: y = k - p

Abre hacia abajo

(x - h)² = -4p(y - k)

Siendo;

• vértice (h, k)
• Foco: (h, k-p)
• Directriz: y = k + p

Abre hacia la derecha

(y - k)² = 4p(x - h)

Siendo;

• vértice (h, k)
• Foco: (h+p, k)
• Directriz: x = h - p

Abre hacia la izquierda

(y - k)² = -4p(x - h)

Siendo;

• vértice (h, k)
• Foco: (h-p, k)
• Directriz: x = h + p

a) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice está en V(-2,-3) y foco en F(-2,-1)?

Es una parábola que abre hacia arriba.

Siendo;

h = -2; k = -3

k + p = -1

-3 + p = -1

Despejar p;

p = -1 + 3

p = 2

(x + 2)² = 4(2)(y + 3)

(x + 2)² = 8(y + 3)

b) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice está en V(-1,-3) y foco en F(2,-3)?

Es una parábola que abre hacia la derecha.

Siendo;

h = -1; k = -3

h + p = 2

-1 + p = 2

Despejar p;

p= 2 + 1

p = 3

Sustituir;

(y + 3)² = 4(3)(x + 1)

(y + 3)² = 12(x + 1)

c) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice está en V(3, 1) y foco en F(3, 0)?

Es una parábola que abre hacia abajo.

Siendo;

h = 3; k = 1

k - p = 0

1 + p = 0

Despejar p;

p = -1

(x - 3)² = 4(-1)(y- 1)

(x - 3)² = -4(y - 1)

d) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco es F(3, 2) y su directriz x = -1?

Es una parábola que abre hacia la derecha.

Siendo;

Foco: (h+p, k)

k = 2

h + p = 3

Despejar h;

h = 3 - p

Directriz: x = h - p

h - p = -1

Sustituir h;

3 - p - p = -1

2p = 3 + 1

p = 4/2

p = 2

h = 3 - 2

h = 1

Sustituir;

(y - 2)² = 4(2)(x - 1)

(y - 2)² = 8(x - 1)

e) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco es F(-4, -3) y su directriz x = -7?

Es una parábola que abre hacia la derecha.

Siendo;

Foco: (h+p, k)

k = -3

h + p = -4

Despejar h;

h = -4 - p

Directriz: x = h - p

h - p = -7

Sustituir h;

-4 - p - p = -7

2p = -4+7

p = 3/2

h = -4 - 3/2

h = -11/2

Sustituir;

(y + 3)² = 4(3/2)(x + 11/2)

(y + 3)² = 6(x + 11/2)

f) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice en V(-3,4) y extremos del lado recto L(2,-6) y R(2,14)?

Es una parábola que abre hacia la derecha.

Siendo;

h = -3; k = 4

|LR| = 4p

4p = √[(2-2)²+(14+6)²]

4p = √(20)²

4p = 20

Sustituir;

(y - 4)² = 20(x + 3)

Puedes ver más sobre la ecuación de una parábola aquí: https://brainly.lat/tarea/13477214

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